本文利用初等方法,结合同余方程解的个数与经典高斯和的性质研究了一类二项指数和五次均值的计算问题,并给出了精确的计算公式.

孙智伟教授猜测: 对于每个奇素数 $p>100,$可要求勾股方程$x^2+y^2=z^2$的解$x,y,z\in[1,p]$,且分别为模$p$的二次剩余或者二次非剩余(共八种情形).对于所有充分大的素数$p,$ 本文证明了这一猜测,其方法主要涉及Lillian B.Pierce和Junyan Xu所证明的关于多元高次型的特征和的Burgess界.

设 $\mathbb{F}_{q}$ 为 $q$ 阶有限域, $\mathbb{F}_{q^{n}}$ 为 $\mathbb{F}_{q}$ 的 $n$ 次扩域. 设$\alpha\in\mathbb{F}_{{q}^n}$, 若 $\{\alpha,\alpha^{q},\ldots, \alpha^{q^{n-1}}\}$ 构成$\mathbb{F}_{q^{n}}/\mathbb{F}_{q}$ 的一组基, 称 $\alpha$ 为 $\mathbb{F}_{q^{n}}/\mathbb{F}_{q}$ 的正规元. 正规元可用来加速有限域上的算术运算, 因而在编码和密码中具有重要应用. 正规元的极小多项式一定是非零迹的不可约多项式, 但反之未必成立. 本文利用线性化多项式给出了关于该问题的一组充分必要条件, 推广了已知结论.

本文介绍向量值指数权Bergman空间$A^p_{\varphi}(\mathcal{H})$ $(1 ＜ p ＜ \infty)$上正算子值linebreak Toeplitz算子的一些性质. 首先, 讨论了从 $L^p_{\varphi}(\mathcal{H})$ 到 $A^p_{\varphi}(\mathcal{H})$ 上的Bergman投影何时是有界的, 得到了向量值指数权Bergman空间的对偶. 其次, 得到了Carleson条件的几种等价描述, 并用之来刻画Toeplitz 算子在$A^p_{\varphi}(\mathcal{H})$ 上的有界性和紧性. 最后, 考虑了作用于 $A^2_{\varphi}(\mathcal{H})$ 上的Toeplitz算子的Schatten-$p$类.

设$T\in\mathcal{B （H）}$是Hilbert空间$\mathcal{H}$上的有界线性算子，本文研究了算子投影对$（P，Q）$和复数对$（\alpha，\beta）$的广义投影束$T=P+\alpha Q+\beta PQ$的性质.用投影算子的Halmos分解定理，得到了算子$T$为广义投影束的一些等价条件，给出了广义投影束$T$的谱性质，证明了广义投影束$T$在一定条件下与对角算子相似的性质，建立起广义投影束$T$的谱跟投影$P$和$Q$的谱之间的关系.最后，讨论了广义投影束$T$为特殊算子类，例如Fredholm算子、紧算子、自伴算子的充要条件，并给出了算子$T$关于幂等对的广义投影束的几个性质.

令 $\mathbb{F}_q$ 是一个含有 $q$个元素的有限域, 其中 $q$ 是素数 $p$ 的方幂, $t \ge 2$ 是满足$t\not \equiv 1\ (\bmod \,p)$ 的偶数, 且 $\mathbb{F}_{{q^t}}$ 是$\mathbb{F}_q$ 的次数为 $t$ 的扩域. 本文给出$\mathbb{F}_{{q^t}}^n$ 上的一个迹双线性型内积 $\Delta$, 其中 $n$是一个与 $q$ 互素的正整数. 根据定义的迹内积, 研究循环$\Delta$-自正交和循环 $\Delta$-自对偶 $\mathbb{F}_q$-线性$\mathbb{F}_{{q^2}}$-码的基和计数. 此外, 给出一些参数好的$\mathbb{F}_q$-线性 $\mathbb{F}_{{q^2}}$-码.

有限域上多项式的零点计数问题是算术代数几何的核心问题之一,本文考虑有限域$\mathbb{F}$_q上完全对称多项式的零点问题.主要结果如下:设$h(x_1,\ldots,x_k)$是有限域$\mathbb{F}$_q上一个$m$次完全对称多项式($k\geq 3, \, 1\leq m\leq q-2$):
(1) 若$q$为奇数, 则$h(x_1,\ldots, x_k)$在$\mathbb{F}$_q^k中至少有$\frac{\lceil \frac{q-1}{m+1}\rceil}{q-\lceil \frac{q-1}{m+1}\rceil}(q-m-1)q^{k-2}$个零点;
(2) 若$q$为偶数, 且$k\geq 4$, 则$h(x_1,\ldots, x_k)$在$\mathbb{F}$_q^k中至少有$\frac{\lceil \frac{q-1}{m+1}\rceil}{q-\lceil \frac{q-1}{m+1}\rceil}(q-\frac{m+1}{2})(q-1)q^{k-3}$个零点.
注意到, 当$m$比较小的时候,上述新的下界改进了已有下界[4,定理1.4]和[3,定理1.2](见本文结论 1.1和1.2)大约$\frac{q^2}{6m}$倍.

本文研究了一些行列式与积和式. 特别地, 我们探讨了新型行列式\normalsize $$\det [(i^2+cij+dj^2)^{p-2}]_{0 ≤ i,j ≤ p-1}{与}det [(i^2+cij+dj^2)^{p-2}]_{1 ≤ i,j ≤ p-1}$$模奇素数$p$, 其中$c$与$d$为整数.我们也提出一些猜想以供进一步的研究.

本文利用初等数论的知识研究Fibonacci数列奇偶数项三次方的倒数和问题并给出两个有趣的恒等式.

在本文中,我们主要研究了一类$\mathbb{C}^{n+1}$中的区域$\Omega^{n+1}_k=\{(z,w)\in\mathbb{C}^n\times\mathbb{C}:|z|^k<|w|<1\}$,其中$k\in\mathbb{Z}^+$,此区域是经典Hartogs三角域的推广.首先我们获得了这类域上Bergman核函数的显式公式,其次给出了使得Bergman投影$L^p$有界的$p$的取值范围,并且我们证明了$p$的这一范围是一个充分必要条件.

有限域上射影码在组合设计和强正则图中有重要应用.本文首先构造一类二元线性码并在四种情形下研究其参数和重量分布，结果表明这类线性码是射影码且在两种情形下是最优码，它们的对偶码关于球填充界最优或几乎最优；然后利用这些射影码构造$t$-设计和强正则图.

基于 Mazur 关于扭转子群的完全分类的结论,以及相关丢番图方程正整数解的结果,研究了导子含有三个相异素因子的椭圆曲线,确定了含有阶为 $n\ ( n \geq 6, n\neq 11)$ 的有理点的椭圆曲线,并给出了这些椭圆曲线判别式的上界.

曲率积分不等式在几何不等式中有着举足轻重的地位.本文一方面运用傅里叶分析方法得到了一个关于周期函数的积分不等式，进而获得平面上著名的Ros不等式的加强形式.另一方面运用获得的引理，结合Green-Osher不等式与Steiner多项式，得到平面凸曲线的高次幂的曲率积分不等式.这些不等式在欧氏平面上为著名的Green-Osher不等式的改进形式.

本文具体地计算了有理数域上的四元数Shimura曲线上的Kodaira—Spencer映射以及它在Hodge丛的度量上的影响.前者用到的主要工具是模空间和形变理论,后者用到的主要工具是复阿贝尔簇的理论.

本文研究了非正则区域的加权分数阶 Sobolev-Poincaré不等式. 这里考虑的权重是到边界距离的某次幂, 并且这些区域是所谓的$s$-John 区域和 $\beta$-Hölder 区域. 我们的主要结果将Hajlasz-Koskela的文 [J. Lond. Math. Soc., 1998, 58(2):425-450] 结果从经典加权 Sobolev-Poincaré不等式推广到它的分数阶对应式, 并且将 Guo 的文[Chin. Ann.Math., 2017, 38B(3): 839-856] 从分数阶 Sobolev-Poincaré不等式推广到其加权情形.

给定图 $G$, 我们称 $G$ 中长度至少为 4 的导出圈为 $G$ 的洞,长度为奇数或偶数的洞分别被称为是奇洞或偶洞. 我们用HVN来表示一个由 $K_4$ 添加一个点并向 $K_4$ 连两条边所得的图, 用 $H$表示长为 7 的圈的补图. Chudnovsky 等人在[J. Combin. Theory B, 2010, 100: 313—331]中 证明了每一个无奇洞且无 $K_4$ 的图是 $4$-可染的,且其色数为$4$当且仅当其含有 $H$ 为导出子图. 在本文中,我们将这一结论推广到无奇洞且无 ${\rm HVN}$ 的图类上. 设 $G$是一个无奇洞且无 ${\rm HVN}$ 的图, 我们证明了若 $G$ 含有 $H$为导出子图, 则 $G$ 有一个特殊的割集或者属于两类特殊图,作为推论我们证明了 $\chi(G)\le \omega(G)+1$, 且等号成立当且仅当$\omega(G)=3$ 且 $G$ 含有 $H$ 为导出子图,从而完全确定了这类图的色数.

本文将证明: 对于最大指数严格小于 $1/22$ 的表示,存在具有正则支的三线性 $\zeta$ 积分测试函数.

本文进一步发展Coxeter系统$（W，S）$中的$W$-图理想理论，主要研究与$W$-图理想相应的Hecke代数上模的结构系数及典范基元素的直接迭代算法.当计算特定典范基元素时，该算法相比标准递推算法具有计算快速节省内存的优势.由于$W$-图理想概念的广义性，本文的结果也是一些经典情形的推广.

磁流体动力学(magnetohydrodynamics)研究的是导电流体在外加电磁场的运动行为,本文研究了一维空间中平面磁流体动力学方程组柯西问题的行波解的存在性和时间渐近稳定性.我们从平面磁流体动力学方程组与 Navier—Stokes方程的紧密联系中受到启发,证明了在小扰动条件下可压缩平面磁流体动力学方程组行波解的时间渐近稳定性.

本文主要考虑具有拟周期外力项和可乘白噪声的二阶格点系统在无穷序列加权空间中的随机一致指数吸引子的存在性.首先给出无穷序列加权空间的积空间上的联合连续随机动力系统的随机一致指数吸引子存在的充分条件.其次利用Ornstein-Uhlenbeck过程，构造一个可逆变量代换将有白噪声的随机二阶格点系统（SDE）转化为无白噪声的随机二阶格点系统（RDE），证明RDE系统的解可以定义一个联合连续的随机动力系统.然后证明该联合连续随机动力系统的Lipschitz连续性，分解系统的两解之差为两个部分的和，并估计一些随机变量的期望.最后得到了所考虑系统的随机一致指数吸引子的存在性.

本文证明了有正比例的正整数,它们表成斐波那契数与素数之和的表法数恰好为 $1$. 我们也研究了形如$p+a_k$ 的正整数, 其中 $p$ 为素数, $\{ a_k\}$是满足一定条件的指数型整数列.

本文是一篇关于棱镜上同调理论发展的论文综述. 我们将从经典的$p$-进制Hodge理论开始, 简要地综述棱镜上同调理论的起源和基本结果. 我们将重点介绍棱镜晶体层的概念, 它们的上同调基本性质, 以及它们与经典的晶体上同调的关系.

本文给出了研究一类三维多项式微分系统中心流形上等时中心的直接方法.首先, 定义了三维系统的等时常数, 并给出了求等时常数的递推公式,由此,不经中心流形而直接计算等时常数确定等时性的必要条件. 在应用部分,解决了两类具体系统的等时中心问题.该方法是平面微分系统刘一戎奇点量计算形式级数方法的推广与发展.其算法是线性的, 十分便于计算机代数系统来实现.

Manin 猜想预测了代数簇上的有理点分布规律. 对给定的整系数本原正定二次型$Q$,方程$x^3=Q(\boldsymbol{y})z$ 表示一类奇异三次超曲面.本文主要介绍这类曲面上的Manin 猜想, 并概述其研究方法及相关结果. 在最后一节,介绍几个推广结果.

本文研究一类新颖的动态单指标变系数分位数回归模型，该模型反映了响应变量与解释变量之间的动态交互效应，并包含许多重要的模型为特例.为提高模型的可解释性和估计的精确度，讨论了模型的半变系数结构.首先，基于B样条方法得到变系数函数和指标函数的估计，采用惩罚函数方法识别模型的半变系数结构，提出了该半参数模型的估计方法.其次，建立了各估计量的相合性和渐近正态性，并且参数估计量和非参数估计量均可达到最优收敛速度.数值模拟表明本文所提出的模型和估计方法具有优良的性质.最后，分析一组NO$_2$数据以展示所提方法在实际应用的表现.

针对存在缺失数据的超高维可加分位回归模型,本文提出一种有效的变量筛选方法.具体而言,将典型相关分析的思想引入到最优变换的最大相关系数,通过协变量和模型残差最优变换后的最大相关系数重要变量的边际贡献进行排序,从而进行变量筛选. 然后,在筛选的基础上,利用稀疏光滑惩罚进一步做变量选择.所提变量筛选方法有三点优势:(1)基于最优变换的最大相关可以更全面的反映响应变量对协变量的非线性依赖结构;(2)在迭代过程中利用残差可以获取模型的相关信息,从而提高变量筛选的准确度;(3)变量筛选过程和模型估计分开, 可以避免对冗余协变量的回归.在适当的条件下,证明了变量筛选方法的确定性独立筛选性质以及稀疏光滑惩罚下估计量的稀疏性和相合性.同时,通过蒙特卡罗模拟给出了所提方法的表现并通过一组小鼠基因数据说明了所提方法的有效性.

本文是模$p$朗兰兹纲领的一篇概述,主要介绍GL₂情形下模$p$朗兰兹纲领的发展历程以及一些最新进展.

本文介绍 Vandiver 猜想与相关研究结果; 我们证明$A_2=A_4=\cdots=A_{32}=0,$ 这里$A$ 是$\mathbb Q(\zeta_p)$的理想类群的 $p$-Sylow子群; 我们提出一个关于非正则素数分布的猜想,给出数值验算.

洛伦兹型映射是具有不连续点的分段扩张映射,其不连续性来源于展示蝴蝶效应的洛伦兹方程的奇点,该映射可观测的统计性质由绝对连续的不变测度给出.本文考虑一类改进的洛伦兹型映射 $f$ 的扰动 $f_t=f+tX\circ f$,对应绝对连续测度 $\mu$ 的扰动记为 $\mu_t$. 我们证明如果 $X$ 在 $f$的不连续点集的所有像集上取值为零,则它的敏感性公式$$\Psi(\lambda)=\sum\limits_{n=0}^\infty \lambda^n \int \mu(dx)X(x)\dfrac{\partial(\varphi(f^nx))}{\partial x},\quad\varphi\in C^1, $$在 $\lambda=1$ 处是收敛的,从而得到线性响应公式 $\frac{d}{dt}|_{t=0}\mu_t(\varphi)=\Psi(1)$成立.

Faltings 提出了 Simpson 关于射影复流形上 Higgs丛与基本群有限维 $\mathbb{C}$-表示之间对应关系的 $p$ 进类比. 在本文中, 我们将概述这一工作以及相关的关于 $p$ 进曲线的基本群有限维 $p$ 进表示的研究. 在最后一节, 我们将简要地讨论一些相关工作.

本文在Hilbert 空间上提出了一种关于伪单调变分不等式问题的Bregman 外梯度算法. 在对参数进行合理假设的情况下, 得到了该算法的弱收敛定理. 所得结果推广和提高了许多最新结果.

本文研究了Hilbert空间中求解分裂可行性问题和拟非扩张算子不动点问题的公共解的一种新算法,并在这两类问题公共解的基础上求解了变分不等式问题. 与前人相比,增加了自适应的步长和惯性迭代算法,加快了算法生成的迭代序列的收敛速度.同时, 将先前涉及的非扩张映射推广到拟非扩张映射,且在算法中加入了一个强正有界算子,将原来的黏性迭代算法推广到更一般的黏性迭代算法.在数值算例中验证了算法的有效性.

本文通过 $\mathrm{L}$-函数的整体积分幂矩, 来推导某些自守$\mathrm{L}$-函数集合的整体零点密度的上界估计. 具体而言, 假设 $I$是某些自守表示 $\pi$ 构成的集合, 对任意 $\pi$ 有非负系数 $c(\pi)$且级数 $\sum_{\pi\in I}c(\pi)$ 收敛. 假设\begin{equation*}\sum_{\pi\in I} c(\pi) \int_T^{T+T^\alpha} \bigg|\mathrm{L}\bigg(\frac12+{\rm i}t,\pi\bigg) \bigg|^{2\ell} dt\ll_\varepsilon T^{\theta+\varepsilon} \sum_{\pi\in I} c(\pi),\end{equation*}其中 $\ell\geq1$, $0<\alpha\leq1$, $\theta\geq\alpha$.则可以得到整体零点密度\begin{equation*}\sum_{\pi\in I}c(\pi)N_\pi(\sigma,T,T+T^\alpha)\end{equation*}的上界估计, 这里 $N_\pi(\sigma,T_1,T_2)$ 表示满足 $\sigma<\beta<1$及 $T_1\leq\gamma\leq T_2$ 的 $\mathrm{L}(s,\pi)$ 的零点$\rho=\beta+{\rm i}\gamma$ 的个数.

令$\rho$是欧氏空间$V$上的一个正交表示,$SV$是$V$的单位球面.设$\bar{d}_{\mathcal{H}}$与$d_{\mathcal{H}}$分别为$V$与$SV$上由$\rho$诱导的水平度量.我们的主要结果是证明以下条件是互相等价的: (1) $\rho$是极表示.(2) $(V, \bar{d}_{\mathcal{H}})$是一个CAT$(0)$空间. (3) $(SV,d_{\mathcal{H}})$是一个CAT$(1)\,\hbox{空间.}$

我们把Brauer—Manin障碍下的中心强逼近定义在任意奇异簇上.然后我们通过给出具体的爆破来证明由一个多项式等于一个迷向二元二次型定义的代数簇满足Brauer—Manin障碍下的中心强逼近.这就完成了Watson关于上述丢番图方程的结论的推广.

设$k\in\{5， 6\}，\eta$是任意给定的实数，$\lambda_1，\lambda_2，\ldots，\lambda_7$是不全同号的非零实数且$\lambda_1/\lambda_2$是无理数.证明了：当$0<\sigma<\frac{1}{12（k-3）}$时，不等式$|\lambda_1x_1^2+\lambda_2x_2^3+\lambda_3x_3^3+\lambda_4x_4^3+\lambda_5x_5^3+\lambda_6x_6^4+\lambda_7x_7^k+\eta|<（\max_{1\leq j\leq 7}x_j）^{-\sigma}$有无穷多组正整数解$x_1，x_2，\ldots，x_7$.这改进了李伟平与龚克的结果.

李代数$（L，[\cdot]）$上的一个Hom-结构是满足下面条件的线性映射$\varphi：L\rightarrow L，$$[[x，y]，\varphi （z）]+[[z，x]，\varphi （y）]+[[y，z]，\varphi （x）]=0，$对任意的$x，y，z\in L.$进一步，如果$\varphi$是$L$的自同构（或导子），称$\varphi$为正则Hom-李结构（或导子双李代数Hom-结构）.$n$-th Schrödinger代数是指单李代数$\mathfrak{sl}_{2}$和$n$-th Heisenberg李代数$\mathfrak{h}_{n}$的半直积.本文证明$n$-th Schrödinger代数的任意的Hom-结构一定是数乘映射与中心Hom-结构的和.进一步推出正则Hom-李代数结构一定是恒等映射，导子双李代数Hom-结构是零映射.

在医学、遗传学、经济学等领域的研究中,线性回归模型常被用来研究变量间的回归关系, 以进行分析和预测.而在很多实际问题中, 仅仅考虑主效应的影响是远远不够的,变量之间的交互效应也会对因变量产生重要影响,同时考虑主效应和交互效应的交互模型能更全面地刻画变量之间的关系.在高维数据中, 变量的个数 $p$ 比较大, 二阶交互项的个数$\frac{p(p+1)}{2}$ 更大,此时对交互模型的统计分析存在很大的困难和挑战.如何从众多交互效应中挑选出对感兴趣事件有显著影响的重要交互效应是一个非常重要的问题.目前对此问题的研究主要集中在线性模型框架下的完全数据,本文将研究超高维右删失生存数据中重要交互效应的选取.基于距离相关系数和两步分析法的原理,本文提出了一种不依赖于任何模型假设的交互效应变量筛选方法.此方法可以同时实现重要主效应和重要交互效应的选取, 且可以处理 $p$很大的超高维数据.本文通过大量的数值模拟试验评估了该方法在有限样本下的表现,结果显示此方法能有效地处理超高维右删失数据中交互效应的选取问题.最后本文把它应用到弥漫性大b细胞淋巴瘤(DLBCL)数据的实例分析中.

本文研究具有Neumann边界条件的Schrödinger算子逆传输特征值问题的稳定性.当$\int_0^1q （t） dt=0$且$q （1）\neq 0$时，存在无穷多个实传输特征值.本文在此条件下，运用变换算子理论和Riesz基相关性质，根据谱数据之差给出弱意义和$W_2^1$范数意义下两势函数差的估计，这些估计蕴含了逆谱稳定性.