本文提出了一种非负投影相关系数(non-negative projectioncorrelation coefficient (NPCC))来度量两个随机向量之间的相关性,其中投影方向来自标准多元正态分布.NPCC是非负的且当且仅当两个随机向量独立时, 其取值为0. 此外,它的样本估计不涉及调节参数, 也不需要对随机向量施加任何矩条件.基于NPCC, 我们进一步提出了一种适用于超高维数据的特征筛选程序.该程序具有稳健性、与模型无关且在弱假设下同时享有确定筛选性质和秩相合性.蒙特卡罗模拟研究表明, 与现有方法相比,基于NPCC的筛选程序具有很好的竞争力. 最后,我们将所提出的筛选程序应用于实际数据分析.

本文主要研究了一些与模素数 $p$有关的同余方程解数的计算问题, 并给出精确的计算公式.

图$G$的$1$-平图画法是图$G$在平面上的画法使得每条边至多被交叉一次;图$G$的交叉数等于$G$在平面上所有画法下的交叉数的最小值.确定图的交叉数是NP-困难的,而确定图的$1$-平面性是NP-完全的.本文首次确定了连通度至少为$2$的局部极大$1$-平图与局部交叉极优$1$-平图的非交叉边条数的紧下界,并给出了局部极大$1$-平图与局部交叉极优$1$-平图的交叉数上界与边数的关系.

关于亚纯函数Julia集的研究一直是复动力系统的热点问题之一. 本文通过研究二阶线性微分方程解在角域的增长性质, 就其Julia集的径向分布情况, 给出了更为精确的下界估计.

已有大量证据表明,捕食者引起的恐惧效应可以对食饵产生间接影响,其效果可与直接捕杀食饵相媲美.本文构建了一个具有非局部恐惧效应的扩散型捕食系统,并对其进行了深入研究. 首先考察了系统解的存在性和有界性,随后讨论了常数稳态解的稳定性, 并通过采用 Lyapunov—Schmidt方法详细研究了稳态分支现象, 最后利用数值模拟验证了理论结果的正确性.

生产函数是新古典经济学的核心概念之一,是经济学家进行经济分析的重要工具.本文从几何不变量的角度对拟和生产函数进行深入研究.通过探讨拟和生产函数对应曲面的常高斯曲率方程与常平均曲率方程,得到了一系列有意思的分类结果.本文的研究结果不仅对微分几何中曲面论的研究具有一定意义,而且为经济分析中的生产模型提供了更多可选择的类型,在一定程度上推动了生产函数理论的发展.

本文首先证明了环面上三维不可压缩Oldroyd-B模型小初值解析解的全局存在性和指数衰减. 我们能够得到一个无黏性的先验估计. 基于这个先验估计, Oldroyd-B系统的无黏性极限能够被得到. 这里我们指出, 此系统的非线性二次项的导数比线性部分的高一阶, 而我们没有好的结构去克服这种导数损失问题, 因此我们只能在解析能量泛函空间中建立全局时间的结果, 而不是在有限阶导数的Sobolev空间中得到全局存在性.

本文主要研究具有粗糙密度场的三维非均质不可压缩非对称流体的柯西问题.通过开发一些解关于时间额外的加权估计,运用插值理论和关于时间变量的Lorentz空间的相关性质,建立了速度场的Lipschitz正则性.基于此,采用对偶方法,获得了由[Qian,Chen and Zhang,Math.Ann.,2023,386:1555-1593]构造的整体弱解的唯一性.

本文针对具有误差截面相关的二元面板数据模型提出了一个新的估计方法.这个估计方法不需要估计模型中交互效应.在$N$固定,$T$趋向无穷情况下,本文给出了这个估计量的渐近性质.最后,针对本文提出的带有误差截面相关的二元面板数据模型,为了说明本文提出的估计量的小样本性质,我们做了一些MonteCarlo模拟实验,模拟结果显示本文提出的估计量效果好.

在本文中,我们利用Dudek[Bull.Aust.Math.Soc.,2019,99(1):1-9]的方法研究定义在有限域多项式环上的除数函数在二次多项式序列上的均值,对比整数环上除数函数在二次算术序列上的均值,二者从阶的角度来看一致.

本文在Hilbert空间中提出了一种新的关于单调变分不等式问题的Bregman超梯度方法. 此外, 在一些合理的参数假设条件下, 证明了算法的弱收敛定理. 最后, 我们给出了一些数值例子来说明该算法在收敛性方面的优势.

设$X,Y$为具有相同维数的有限维实Banach空间,$f:X\rightarrow Y$为一个映射.本文证明若$X$为光滑空间,则$f$满足$\{\|f (x)+f (y)\|,\|f (x)-f (y)\|\}=\{\|x+y\|,\|x-y\|\},\;\forall x,y\in X$,当且仅当$f$相位等价于一个线性满等距映射.

对于带有分数噪声的时空分数阶随机热方程,本文证明了方程解的概率分布关于连续轨道空间上的加权$L^2$-度量满足Talagrand's ${\bf T_2}$ 运费-信息不等式.

关于仿射 $q$-Schur代数 $\mathcal{S}_{\Delta}(n, r)$ 的生成元与关系式, Doty等人给出了 $n>r$ 的表现,Deng—Du—Fu给出了仿射 $q$-Schur代数 $\mathcal{S}_{\Delta}(r, r)$ 的表现. 当 $n < r$ 时, 仿射$q$-Schur代数 $\mathcal{S}_{\Delta}(n, r)$ 的表现较复杂.本文从单项式基的角度, 得到仿射 $q$-Schur代数 $\mathcal{S}_{\Delta}(2, 3)$ 的一组单项式基,并给出仿射 $q$-Schur代数 $\mathcal{S}_{\Delta}(2, 3)$ 一组新的生成元与关系式.

拓扑空间称为稠可分的,若每个稠子集都是可分的.因此,每个稠可分空间是可分的.本文主要讨论稠可分拓扑群的一些基本性质,证明了可分的且具有可数tightness的空间是稠可分的,并且给出例子说明稠可分的拓扑群不一定是遗传可分的;然后,证明了Hausdorff局部紧群是稠可分当且仅当它是可度量化的.此外,本文研究了稠子群可分的拓扑性质,证明了每一交换的、局部紧的拓扑群是稠子群可分的当且仅当它是稠可分的,当且仅当它是可度量化的.最后,本文还讨论稠可分在拓扑群及其相关结构的$d$独立方面的一些应用,主要证明了如下结果:(1)每一正则、稠子群可分且无挠秩不小于连续基数的交换半拓扑群是$d$独立的.(2)对每一正则、有界的交换仿拓扑群$G$,若$G$是稠子群可分且$|G|>1$,则$G$是$d$独立的当且仅当$G$是$M$群,当且仅当$G$的每一非平凡准素分支$G_{p}$是$d$独立的;并运用该结果,证明了可分度量化的几乎无挠仿拓扑交换群$G$满足$|G|=\mathfrak{c}$是$d$独立的.(3)每一具有非平凡连通分支、MAP且稠子群可分的交换群是$d$独立的.

将偏误纠正法、变量变换法及二次推断函数法有机结合, 为个体内存在相关性的部分线性变系数空间自回归固定效应面板模型建立了一种有效估计方法. 进一步, 在一些正则条件下, 证明了参数估计量的渐近正态性, 推导了系数函数估计量的收敛速度. 最后, 采用Monte Carlo模拟和真实数据分析评估了估计方法在有限样本下的表现.

随着大数据技术的发展,空间数据的维数越来越高,并且数据中经常存在内生性和异质性等问题,为了对高维空间相依数据进行稳健分析,本文提出了具有内生权重的高维空间滞后分位数回归模型,通过组合控制变量法和高维稳健方法给出了三步惩罚的分位数估计算法,并证明了所得估计量的相合性、渐近正态性和变量选择的Oracle性质.数值模拟和对全国284个地级市的房价数据分析验证了本文所提模型和估计方法具有稳健的优良性质.

折现Hamilton—Jacobi (以下简称为H-J)方程作为接触H-J方程的一种特殊形式, 对其研究具有深刻意义. 在本文中,我们给出了满足一定条件下折现哈密尔顿系统中Aubry集的一种黏性解意义下的定义,其与经典哈密尔顿系统中Aubry集的定义有一定的相似性,且由此定义的Aubry集具有变分意义下的作用量极小性及回归性.

本文中，我们研究一类如下Hénon型Choquard方程组$$ \begin{cases}-\Delta u=\int_{\mathbb{R}^3} \frac{|x|^\alpha|y|^\alpha v^p(y)}{|x-y|^{3-\mu}} d y \cdot v^{p-1} & \text { 在 } \mathbb{R}^3 \text { 中, } \\ -\Delta v=\int_{\mathbb{R}^3} \frac{|x|^\alpha|y|^\alpha u^q(y)}{|x-y|^{3-\mu}} d y \cdot u^{q-1} & \text { 在 } \mathbb{R}^3 \text { 中 }\end{cases} $$正解的不存在性，其中$0<\mu<3, \alpha>0$ ．我们将证明在$\mathbb{R}^3$空间中，当$p, q>2$且满足 $$ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}>\frac{2}{3+2 \alpha+\mu} $$时，上述方程没有正经典解．

我们将Davie处理有界可测漂移系数随机微分方程的技巧(Int.Math.Res.Not.,2007,2007(1):1-26)推广到时间平方可积、空间Hölder连续漂移系数随机微分方程,得到了随机微分方程强解的梯度估计和一致局部拟Lipschitz估计.作为应用,我们得到了由Wiener噪声驱动的平方可积系数随机输运方程的唯一强可解性和随机强解的一致局部拟Lipschitz估计,并部分解决了Fedrizzi和Flandoli (J.Funct.Anal.,2013,264(6):1329-1354)提出的公开问题.

本文研究了在Hilbert空间$H_{\gamma}$上加权复合算子的可逆性和保框架的等价性. 并且证明了如果$W_{\psi, \varphi}$在$A_{\alpha}^{2}$上有界, 则$W_{\psi, \varphi}$ 是可逆的当且仅当其共轭也是可逆的. 除此之外, 作者找到一些保框架算子和动态采样的联系.

在本文中, 我们考虑了一个一维Nosé—Hoover系统:$\dot{q}=p^{2m+1}$, $\dot{p}=-q^{2n+1}-\frac{\xi}{Q} p,$$\dot{\xi}=p^{2m+2}-\beta^{-1},$ 其中 $p, q, \xi\in \mathbb{R}$是一维变量, $m,n\geq 0$ 是整数, $Q, \beta$ 是参数. 对于足够大的 $Q$,我们利用平均化方法证明了线性稳定周期解的存在性. 此外,基于Moser扭转定理, 我们证明了当 $Q$足够大时在周期轨道周围系统的不变环面的存在性.

本文研究三维热带气候模型的轨道统计解及其性质.作者首先证明带阻尼项的三维热带气候模型存在轨道吸引子,并应用该轨道吸引子和广义Banach极限构造出轨道统计解.然后证明当模型的广义Grashof数足够小时轨道统计解具有退化正则性.最后证明当阻尼系数趋于零时轨道统计解收敛到无阻尼项的三维热带气候模型的轨道统计解.

本文研究一种非局部曲线流,它会保持演化曲线的凸性和修正的弹性能量$\int^{L}_{0}$$\kappa^{2}ds-\epsilon L(\epsilon\ge0)$不变.我们将证明这个流会整体存在,且演化曲线的长度递减,最终随着时间趋向无穷时,其在$C^{\infty}$度量下会收敛到一个有限圆.作为这个流的应用,我们将证明两个新的几何不等式.

在$\mathbb{R}^n$中,利用凸体的弦幂积分及其不等式,得到若干关于$\mu$-随机弦长、$\nu$-随机弦长、$\lambda$-随机弦长的$k$-阶矩之间的不等式.根据凸体的弦幂积分与包含函数的关系,得到以上三种随机弦长矩的一种新的表达形式.利用$\mu$-随机弦长的分布函数及其概率密度函数的性质,分别得到$\nu$-随机弦长的分布函数及其概率密度函数、$\lambda$-随机弦长的分布函数及其概率密度函数的计算公式,并建立三种分布函数之间的关系.在此基础上,以$\mathbb{R}^2$中的菱形域、正五边形域、正六边形域为例,分别得到相应的三种随机弦长的一阶矩以及$\nu$-随机弦长的分布函数的具体结果.

设 $(\Sigma, g)$ 为紧致无边黎曼曲面. $\psi, h$ 是 $\Sigma$上的光滑函数,且满足 $\int_{\Sigma} \psi d v_g \neq 0$ 以及 $h \geq0, h \not \equiv 0$. 这篇文章我们研究 $(\Sigma, g)$上广义Kazdan-Warner 方程\begin{align*}\left\{\begin{array}{l} \Delta_g u-\alpha u=8\pi\bigg(\displaystyle\frac{ h \mathrm{e}^u}{\int_{\Sigma} h \mathrm{e}^u d v_g}-\displaystyle\frac{\psi}{\int_{\Sigma} \psi d v_g} \bigg), \\ \displaystyle\int_{\Sigma} u \psi d v_g=0 \end{array}\right.\end{align*}解的存在性, 其中 $\alpha < \lambda_1^{\psi}(\Sigma)$. 在此前的研究 [Sci. China Math., 2018, 61(6): 1109-1128]中, Yang 和 Zhu 得到了当$h>0$且 $\psi = 1 $时, Kazdan-Warner 方程有解的充分条件. 我们将此结果推广至非负预定函数 $h$, 即$h \geq 0, h \not \equiv 0$, 以及一般的 $\psi$. 我们的思路是证明爆破不在$h$的零点发生.

在高维稀疏线性模型的估计方法中, 最小二乘Lasso估计因其调节参数依赖于模型误差的方差而使得该估计方法在实际应用中有一定的限制性.最小二乘平方根Lasso估计虽然可以克服调节参数的依赖性, 但其估计结果在稳健性方面欠佳.进一步, 最小一乘Lasso估计虽然具有较好的稳健性, 但其要求模型误差的密度函数在特定点的值远离零.本文提出了高维稀疏线性模型的成对平方根Lasso估计方法, 其仅要求模型误差服从对称分布.成对平方根Lasso估计方法具有调节参数与模型参数的不依赖性,能够处理比最小一乘Lasso估计方法更加厚尾的模型误差分布等优势.本文建立了成对平方根Lasso估计的误差界和模型选择的相合性.模拟实验的结果表明本文所提出的估计方法在有限样本下具有良好的表现.本文通过一个实例分析展示成对平方根Lasso估计的应用.

本文研究了一类弱相依平稳随机场在随机缺失情形下超过数点过程的极限性质. 利用所得结论, 本文获得了该随机场在随机缺失情形下极值次序统计量的相关极限性质, 同时, 本文也获得了$\chi$随机场和高斯次序场在随机缺失情形下的超过数点过程的极限性质.

本文的研究对象是平面严格凸曲线,即平面中曲率恒正的曲线.我们对经典的Wirtinger不等式进行了深层次的应用,得到了平面严格凸曲线上一些新的曲率积分不等式.进一步通过应用高阶Wirtinger不等式,证明了严格凸曲线上新的逆等周不等式.

令$c_{k,j}(n)$表示 $n$ 的 $(k,j)$-着色分拆的个数. 2021 年,Keith 证明了: 当 $j=2,5,8,9$ 时, $c_{9,j}(3n+2)\equiv 0\pmod {27}$对所有整数 $n\ge 0$ 都成立; 当 $j=3,6$ 时, $c_{9,j}(9n+2)\equiv0\pmod {27}$ 对所有整数 $n\ge 0$ 都成立. 设 $a,b$ 是互素的正整数,最近, 本文作者给出了 $c_{9,j}(an+b)\equiv 0\pmod {27}$ 对所有整数$n\ge 0$ 都成立的充要条件. 特别地, 当 $j=1,4,7$ 时, 不存在互素的正整数 $a,b$ 使得 $c_{9,j}(an+b)\equiv 0\pmod {27}$ 对所有整数 $n\ge0$ 都成立. 本文研究 $c_{4,j}(n)$ 的同余性质. 对 $1\le j\le 3$,我们定出了所有互素的正整数 $a,b$ 使得 $c_{4,j}(an+b)\equiv 0\pmod{8}$ 对所有整数 $n\ge 0$ 都成立.

本文在拟双曲度量空间中引入short弧和拟等距映射的概念,并利用short弧和拟等距映射的性质来刻画了拟双曲度量空间Gromov双曲性的一些几何性质.

对于定义在同一个空间上的有界线性算子$A$和$B$, 若满足$AB=BA^{*}$, 则称$A$和$B$是斜可交换的.本文给出了单位圆盘Hardy空间上两个Toeplitz算子斜可交换的充分必要条件, 以及两个Hankel算子在某个给定条件下斜可交换的充要刻画.

近些年来, 有限域上置换多项式的计数问题一直受到很多人关注, 本文构造了有限域上置换多项式的一个全新的计数公式, 并给出了一个置换多项式存在的判定条件. 本文的结果解决了王强提出的一个问题.

在特征 $p>2$ 的代数闭域中, 根据特殊线性李超代数$A(1,0)=\mathfrak {sl}_{2|1}$ 与正交-辛李超代数 $C(2)=\mathfrak{osp}_{2|2}$ 的同构关系, 在伴随表示下, Hamilton 超代数$H(m,n)$可视为 $A(1,0)$ -模. 本文通过对 $H(m,n)$进行子模分解和权空间分解, 用简约方法计算了 $A(1,0)$ 到 $H(m,n)$的低阶上同调群.

本文旨在建立可乘噪声驱动的反射随机热方程的小时间大偏差原理.主要困难是处理时空白噪声和由反射项产生的奇异性. 文中我们采用类似A.Matoussi等人提出的弱收敛方法新的充分条件.

本文给出复Banach单位球上和$\mathbb{C}^n$中单位多圆柱上一类准凸映射（含$\mathbb{A}$型准凸映射与$\mathbb{B}$型准凸映射）推广的Fekete-Szegö不等式,作为主要结果的应用同时建立了上述映射在相应域上相邻齐次展开式范数差的估计.所得结果既能回到单复变数经典的结果又推广了多复变数一些已知结论.

本文研究下列分数阶$p$-Laplace方程边值问题\begin{equation*}\left\{\begin{array}{ll} (-\Delta)_{p}^{s}u=f(x)u^{-\gamma }-g(x,u), \ \ & x\in \Omega,\\ u>0, ~&x\in \Omega,\\ u=0,~&x\in \mathbb{R} ^{N}\setminus \Omega \end{array}\right.\end{equation*}解的存在性和唯一性, 其中$\Omega \subset \mathbb{R} ^{N}$是一个有界光滑区域. 与常规基于变分法处理的奇异问题不同, 本文考虑的是强奇异情况,即$\gamma >1$. 在两个新构造的流形上, 根据Ekeland 变分原理, 得到了上述问题弱解的存在性. 由于方程的特殊结构,我们还得到了解的唯一性.

本文考虑了基于希尔伯特空间填充曲线采样的随机星差上界及其应用,这个问题源于多元积分近似. 其主要思想是分层随机采样方法,同时去除了经典的抖动采样关于采样数的严格条件,获得了收敛阶数为$O(N^{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2d}}\cdot\ln^{\frac{1}{2}}{N})$的概率星差上界, 其次,我们通过获得的概率星差上界, 推导出期望星差上界,从数值上改进了现有的结果. 最后,我们将结果应用于加权函数空间中函数的一致积分逼近以及推广的Koksma$-$Hlawka不等式.

本文首先引入 $\delta$-BiHom-Jordan 李超三系以及广义导子、拟导子和中心导子, 然后得到 $\delta$-BiHom-Jordan李超三系的广义导子代数、 拟导子代数和中心导子代数的一些基本性质,特别地, 证明了 $\delta$-BiHom-Jordan李超三系的拟导子可以作为导子嵌入到另一个 $\delta$-BiHom-Jordan李超三系中, 并且当前者的中心导子为 $0$ 时可得到后者导子的直和分解.

设$\mathbb{N}$表示正整数集合, $\mathbb{F}_q$表示奇特征的有限域. 在本文中, 我们利用指数矩阵的Smith规范型,给出了由 $\sum_{j=0}^{t_k-1}\sum_{i=1}^{r_{k,j+1}-r_{kj}}a^{(k)}_{r_{kj}+i}x_1^{e_{r_{kj}+i,1}^{(k)}}\cdots x_{n_{k,j+1}}^{e_{r_{kj}+i,n_{k,j+1}}^{(k)}}=b_k,$ $1\le k\le m,$所确定的$\mathbb F_q$上三角代数簇的有理点个数的明确计算公式,其中$b_k\in \mathbb F_q$, $t_k\in \mathbb N$,$0=r_{k,0}<r_{k,1}<\cdots<r_{k,t_k}$, $a^{(k)}_i\in \mathbb F_q^*$,$e_{ij}^{(k)}\in \mathbb N$ ($1\le i\le r_{k,t_k}$, $1\le j\le t_k$),$0<n_{11}<\cdots<n_{1,t_1}<n_{21}<\cdots<n_{2,t_2}<\cdots<n_{m1}<\cdots<n_{m,t_m}$.我们的结果推广了J. Wolfmann和Q. Sun等学者所得到的结果,同时还部分回答了S.N. Hu, S.F. Hong和W. Zhao在2015年所提出的一个公开问题.