图$G$的$1$-平图画法是图$G$在平面上的画法使得每条边至多被交叉一次;图$G$的交叉数等于$G$在平面上所有画法下的交叉数的最小值.确定图的交叉数是NP-困难的,而确定图的$1$-平面性是NP-完全的.本文首次确定了连通度至少为$2$的局部极大$1$-平图与局部交叉极优$1$-平图的非交叉边条数的紧下界,并给出了局部极大$1$-平图与局部交叉极优$1$-平图的交叉数上界与边数的关系.

在本文中,我们利用Dudek[Bull.Aust.Math.Soc.,2019,99(1):1-9]的方法研究定义在有限域多项式环上的除数函数在二次多项式序列上的均值,对比整数环上除数函数在二次算术序列上的均值,二者从阶的角度来看一致.

本文主要研究具有粗糙密度场的三维非均质不可压缩非对称流体的柯西问题.通过开发一些解关于时间额外的加权估计,运用插值理论和关于时间变量的Lorentz空间的相关性质,建立了速度场的Lipschitz正则性.基于此,采用对偶方法,获得了由[Qian,Chen and Zhang,Math.Ann.,2023,386:1555-1593]构造的整体弱解的唯一性.

本文针对具有误差截面相关的二元面板数据模型提出了一个新的估计方法.这个估计方法不需要估计模型中交互效应.在$N$固定,$T$趋向无穷情况下,本文给出了这个估计量的渐近性质.最后,针对本文提出的带有误差截面相关的二元面板数据模型,为了说明本文提出的估计量的小样本性质,我们做了一些MonteCarlo模拟实验,模拟结果显示本文提出的估计量效果好.

设$X,Y$为具有相同维数的有限维实Banach空间,$f:X\rightarrow Y$为一个映射.本文证明若$X$为光滑空间,则$f$满足$\{\|f (x)+f (y)\|,\|f (x)-f (y)\|\}=\{\|x+y\|,\|x-y\|\},\;\forall x,y\in X$,当且仅当$f$相位等价于一个线性满等距映射.

拓扑空间称为稠可分的,若每个稠子集都是可分的.因此,每个稠可分空间是可分的.本文主要讨论稠可分拓扑群的一些基本性质,证明了可分的且具有可数tightness的空间是稠可分的,并且给出例子说明稠可分的拓扑群不一定是遗传可分的;然后,证明了Hausdorff局部紧群是稠可分当且仅当它是可度量化的.此外,本文研究了稠子群可分的拓扑性质,证明了每一交换的、局部紧的拓扑群是稠子群可分的当且仅当它是稠可分的,当且仅当它是可度量化的.最后,本文还讨论稠可分在拓扑群及其相关结构的$d$独立方面的一些应用,主要证明了如下结果:(1)每一正则、稠子群可分且无挠秩不小于连续基数的交换半拓扑群是$d$独立的.(2)对每一正则、有界的交换仿拓扑群$G$,若$G$是稠子群可分且$|G|>1$,则$G$是$d$独立的当且仅当$G$是$M$群,当且仅当$G$的每一非平凡准素分支$G_{p}$是$d$独立的;并运用该结果,证明了可分度量化的几乎无挠仿拓扑交换群$G$满足$|G|=\mathfrak{c}$是$d$独立的.(3)每一具有非平凡连通分支、MAP且稠子群可分的交换群是$d$独立的.

设 $(\Sigma, g)$ 为紧致无边黎曼曲面. $\psi, h$ 是 $\Sigma$上的光滑函数,且满足 $\int_{\Sigma} \psi d v_g \neq 0$ 以及 $h \geq0, h \not \equiv 0$. 这篇文章我们研究 $(\Sigma, g)$上广义Kazdan-Warner 方程\begin{align*}\left\{\begin{array}{l} \Delta_g u-\alpha u=8\pi\bigg(\displaystyle\frac{ h \mathrm{e}^u}{\int_{\Sigma} h \mathrm{e}^u d v_g}-\displaystyle\frac{\psi}{\int_{\Sigma} \psi d v_g} \bigg), \\ \displaystyle\int_{\Sigma} u \psi d v_g=0 \end{array}\right.\end{align*}解的存在性, 其中 $\alpha < \lambda_1^{\psi}(\Sigma)$. 在此前的研究 [Sci. China Math., 2018, 61(6): 1109-1128]中, Yang 和 Zhu 得到了当$h>0$且 $\psi = 1 $时, Kazdan-Warner 方程有解的充分条件. 我们将此结果推广至非负预定函数 $h$, 即$h \geq 0, h \not \equiv 0$, 以及一般的 $\psi$. 我们的思路是证明爆破不在$h$的零点发生.

本文中，我们研究一类如下Hénon型Choquard方程组$$ \begin{cases}-\Delta u=\int_{\mathbb{R}^3} \frac{|x|^\alpha|y|^\alpha v^p(y)}{|x-y|^{3-\mu}} d y \cdot v^{p-1} & \text { 在 } \mathbb{R}^3 \text { 中, } \\ -\Delta v=\int_{\mathbb{R}^3} \frac{|x|^\alpha|y|^\alpha u^q(y)}{|x-y|^{3-\mu}} d y \cdot u^{q-1} & \text { 在 } \mathbb{R}^3 \text { 中 }\end{cases} $$正解的不存在性，其中$0<\mu<3, \alpha>0$ ．我们将证明在$\mathbb{R}^3$空间中，当$p, q>2$且满足 $$ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}>\frac{2}{3+2 \alpha+\mu} $$时，上述方程没有正经典解．

随着大数据技术的发展,空间数据的维数越来越高,并且数据中经常存在内生性和异质性等问题,为了对高维空间相依数据进行稳健分析,本文提出了具有内生权重的高维空间滞后分位数回归模型,通过组合控制变量法和高维稳健方法给出了三步惩罚的分位数估计算法,并证明了所得估计量的相合性、渐近正态性和变量选择的Oracle性质.数值模拟和对全国284个地级市的房价数据分析验证了本文所提模型和估计方法具有稳健的优良性质.

本文研究了在Hilbert空间$H_{\gamma}$上加权复合算子的可逆性和保框架的等价性. 并且证明了如果$W_{\psi, \varphi}$在$A_{\alpha}^{2}$上有界, 则$W_{\psi, \varphi}$ 是可逆的当且仅当其共轭也是可逆的. 除此之外, 作者找到一些保框架算子和动态采样的联系.

我们将Davie处理有界可测漂移系数随机微分方程的技巧(Int.Math.Res.Not.,2007,2007(1):1-26)推广到时间平方可积、空间Hölder连续漂移系数随机微分方程,得到了随机微分方程强解的梯度估计和一致局部拟Lipschitz估计.作为应用,我们得到了由Wiener噪声驱动的平方可积系数随机输运方程的唯一强可解性和随机强解的一致局部拟Lipschitz估计,并部分解决了Fedrizzi和Flandoli (J.Funct.Anal.,2013,264(6):1329-1354)提出的公开问题.

在$\mathbb{R}^n$中,利用凸体的弦幂积分及其不等式,得到若干关于$\mu$-随机弦长、$\nu$-随机弦长、$\lambda$-随机弦长的$k$-阶矩之间的不等式.根据凸体的弦幂积分与包含函数的关系,得到以上三种随机弦长矩的一种新的表达形式.利用$\mu$-随机弦长的分布函数及其概率密度函数的性质,分别得到$\nu$-随机弦长的分布函数及其概率密度函数、$\lambda$-随机弦长的分布函数及其概率密度函数的计算公式,并建立三种分布函数之间的关系.在此基础上,以$\mathbb{R}^2$中的菱形域、正五边形域、正六边形域为例,分别得到相应的三种随机弦长的一阶矩以及$\nu$-随机弦长的分布函数的具体结果.

本文研究三维热带气候模型的轨道统计解及其性质.作者首先证明带阻尼项的三维热带气候模型存在轨道吸引子,并应用该轨道吸引子和广义Banach极限构造出轨道统计解.然后证明当模型的广义Grashof数足够小时轨道统计解具有退化正则性.最后证明当阻尼系数趋于零时轨道统计解收敛到无阻尼项的三维热带气候模型的轨道统计解.

本文研究一种非局部曲线流,它会保持演化曲线的凸性和修正的弹性能量$\int^{L}_{0}$$\kappa^{2}ds-\epsilon L(\epsilon\ge0)$不变.我们将证明这个流会整体存在,且演化曲线的长度递减,最终随着时间趋向无穷时,其在$C^{\infty}$度量下会收敛到一个有限圆.作为这个流的应用,我们将证明两个新的几何不等式.

本文给出复Banach单位球上和$\mathbb{C}^n$中单位多圆柱上一类准凸映射（含$\mathbb{A}$型准凸映射与$\mathbb{B}$型准凸映射）推广的Fekete-Szegö不等式,作为主要结果的应用同时建立了上述映射在相应域上相邻齐次展开式范数差的估计.所得结果既能回到单复变数经典的结果又推广了多复变数一些已知结论.

令$c_{k,j}(n)$表示 $n$ 的 $(k,j)$-着色分拆的个数. 2021 年,Keith 证明了: 当 $j=2,5,8,9$ 时, $c_{9,j}(3n+2)\equiv 0\pmod {27}$对所有整数 $n\ge 0$ 都成立; 当 $j=3,6$ 时, $c_{9,j}(9n+2)\equiv0\pmod {27}$ 对所有整数 $n\ge 0$ 都成立. 设 $a,b$ 是互素的正整数,最近, 本文作者给出了 $c_{9,j}(an+b)\equiv 0\pmod {27}$ 对所有整数$n\ge 0$ 都成立的充要条件. 特别地, 当 $j=1,4,7$ 时, 不存在互素的正整数 $a,b$ 使得 $c_{9,j}(an+b)\equiv 0\pmod {27}$ 对所有整数 $n\ge0$ 都成立. 本文研究 $c_{4,j}(n)$ 的同余性质. 对 $1\le j\le 3$,我们定出了所有互素的正整数 $a,b$ 使得 $c_{4,j}(an+b)\equiv 0\pmod{8}$ 对所有整数 $n\ge 0$ 都成立.

在高维稀疏线性模型的估计方法中, 最小二乘Lasso估计因其调节参数依赖于模型误差的方差而使得该估计方法在实际应用中有一定的限制性.最小二乘平方根Lasso估计虽然可以克服调节参数的依赖性, 但其估计结果在稳健性方面欠佳.进一步, 最小一乘Lasso估计虽然具有较好的稳健性, 但其要求模型误差的密度函数在特定点的值远离零.本文提出了高维稀疏线性模型的成对平方根Lasso估计方法, 其仅要求模型误差服从对称分布.成对平方根Lasso估计方法具有调节参数与模型参数的不依赖性,能够处理比最小一乘Lasso估计方法更加厚尾的模型误差分布等优势.本文建立了成对平方根Lasso估计的误差界和模型选择的相合性.模拟实验的结果表明本文所提出的估计方法在有限样本下具有良好的表现.本文通过一个实例分析展示成对平方根Lasso估计的应用.

基于因变量抽样设计(Outcome-Dependent Sampling Design,简称ODS抽样设计)是一种回溯性的有偏抽样方法.对于大规模数据的研究,ODS抽样机制能够节约研究成本和提高效率.本文探讨如何应用广义线性模型来拟合采用ODS抽样设计获取的高维数据.受梯度下降思想的启发,本文发展了两种改进的自适应矩估计算法来解决高维ODS数据的广义线性回归中估计的数值计算问题,并证明了所提出算法的收敛性.所提出的这些自适应矩估计算法避免了计算高维矩阵及其逆矩阵,表现优良.本文通过一系列的模拟研究展示了所提出算法的性能,并应用所提出的算法分析了一个实际数据.

本文的研究对象是平面严格凸曲线,即平面中曲率恒正的曲线.我们对经典的Wirtinger不等式进行了深层次的应用,得到了平面严格凸曲线上一些新的曲率积分不等式.进一步通过应用高阶Wirtinger不等式,证明了严格凸曲线上新的逆等周不等式.

近些年来, 有限域上置换多项式的计数问题一直受到很多人关注, 本文构造了有限域上置换多项式的一个全新的计数公式, 并给出了一个置换多项式存在的判定条件. 本文的结果解决了王强提出的一个问题.

设$\mathbb{N}$表示正整数集合, $\mathbb{F}_q$表示奇特征的有限域. 在本文中, 我们利用指数矩阵的Smith规范型,给出了由 $\sum_{j=0}^{t_k-1}\sum_{i=1}^{r_{k,j+1}-r_{kj}}a^{(k)}_{r_{kj}+i}x_1^{e_{r_{kj}+i,1}^{(k)}}\cdots x_{n_{k,j+1}}^{e_{r_{kj}+i,n_{k,j+1}}^{(k)}}=b_k,$ $1\le k\le m,$所确定的$\mathbb F_q$上三角代数簇的有理点个数的明确计算公式,其中$b_k\in \mathbb F_q$, $t_k\in \mathbb N$,$0=r_{k,0}<r_{k,1}<\cdots<r_{k,t_k}$, $a^{(k)}_i\in \mathbb F_q^*$,$e_{ij}^{(k)}\in \mathbb N$ ($1\le i\le r_{k,t_k}$, $1\le j\le t_k$),$0<n_{11}<\cdots<n_{1,t_1}<n_{21}<\cdots<n_{2,t_2}<\cdots<n_{m1}<\cdots<n_{m,t_m}$.我们的结果推广了J. Wolfmann和Q. Sun等学者所得到的结果,同时还部分回答了S.N. Hu, S.F. Hong和W. Zhao在2015年所提出的一个公开问题.

本文在拟双曲度量空间中引入short弧和拟等距映射的概念,并利用short弧和拟等距映射的性质来刻画了拟双曲度量空间Gromov双曲性的一些几何性质.

在配对设计中, 相对风险(relative risk)通常用来分析某种因素是否对某种疾病的发生产生影响, 在流行病学的研究中具有重要的意义. 文章用五种方法来构造多项式抽样下相对风险的渐近置信区间, 分别为: 多项式抽样下的Delta 方法, 对数变换方法, 校正的对数变换方法, 基于Fieller定理改进的方法以及鞍点逼近方法. 以平均覆盖概率和置信区间的平均长度作为评估准则, 通过蒙特卡洛模拟的数据结果对这五种区间估计方法进行评价, 得出在样本量较小的小概率情况下，鞍点逼近方法是最好的. 最后, 文章通过两个实际案例来直观展示五种区间估计方法的表现性能.

在特征 $p>2$ 的代数闭域中, 根据特殊线性李超代数$A(1,0)=\mathfrak {sl}_{2|1}$ 与正交-辛李超代数 $C(2)=\mathfrak{osp}_{2|2}$ 的同构关系, 在伴随表示下, Hamilton 超代数$H(m,n)$可视为 $A(1,0)$ -模. 本文通过对 $H(m,n)$进行子模分解和权空间分解, 用简约方法计算了 $A(1,0)$ 到 $H(m,n)$的低阶上同调群.

对于定义在同一个空间上的有界线性算子$A$和$B$, 若满足$AB=BA^{*}$, 则称$A$和$B$是斜可交换的.本文给出了单位圆盘Hardy空间上两个Toeplitz算子斜可交换的充分必要条件, 以及两个Hankel算子在某个给定条件下斜可交换的充要刻画.

本文首先引入 $\delta$-BiHom-Jordan 李超三系以及广义导子、拟导子和中心导子, 然后得到 $\delta$-BiHom-Jordan李超三系的广义导子代数、 拟导子代数和中心导子代数的一些基本性质,特别地, 证明了 $\delta$-BiHom-Jordan李超三系的拟导子可以作为导子嵌入到另一个 $\delta$-BiHom-Jordan李超三系中, 并且当前者的中心导子为 $0$ 时可得到后者导子的直和分解.

本文结合非交换留数以及Lichnerowicz公式,给出了一类挠性Dirac算子的局部表示及法坐标系下的迹结构,并给出了挠性Dirac算子的Einstein-Hilbert作用.

本文考虑了基于希尔伯特空间填充曲线采样的随机星差上界及其应用,这个问题源于多元积分近似. 其主要思想是分层随机采样方法,同时去除了经典的抖动采样关于采样数的严格条件,获得了收敛阶数为$O(N^{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2d}}\cdot\ln^{\frac{1}{2}}{N})$的概率星差上界, 其次,我们通过获得的概率星差上界, 推导出期望星差上界,从数值上改进了现有的结果. 最后,我们将结果应用于加权函数空间中函数的一致积分逼近以及推广的Koksma$-$Hlawka不等式.

本文考虑一类系数依赖于 $(Y,Z)$ 和 $Y$分布的平均场倒向随机微分方程, 在非 Lipschitz条件下证明了这类方程强解的存在 唯一性.采用的技术是弱解的存在性和弱解轨道唯一性.通过介绍一类新的与这类平均场倒向随机微分方程相关的倒向鞅问题,和通过将二阶微分算子延拓成适合处理平均场倒向的情形, 利用Euler-Maruyama近似技术,证明这类平均场倒向随机微分方程弱解的存在性.弱解轨道唯一性的证明主要基于延拓的Gronwall引理.

本文证明了每一对满足必要条件的充分大的偶数可以同时表示为两个素数的平方,四个素数的立方与$k=27$个$2$的方幂之和。这改进了最近的结果$k=150$.

本文研究下列分数阶$p$-Laplace方程边值问题\begin{equation*}\left\{\begin{array}{ll} (-\Delta)_{p}^{s}u=f(x)u^{-\gamma }-g(x,u), \ \ & x\in \Omega,\\ u>0, ~&x\in \Omega,\\ u=0,~&x\in \mathbb{R} ^{N}\setminus \Omega \end{array}\right.\end{equation*}解的存在性和唯一性, 其中$\Omega \subset \mathbb{R} ^{N}$是一个有界光滑区域. 与常规基于变分法处理的奇异问题不同, 本文考虑的是强奇异情况,即$\gamma >1$. 在两个新构造的流形上, 根据Ekeland 变分原理, 得到了上述问题弱解的存在性. 由于方程的特殊结构,我们还得到了解的唯一性.

本文旨在建立可乘噪声驱动的反射随机热方程的小时间大偏差原理.主要困难是处理时空白噪声和由反射项产生的奇异性. 文中我们采用类似A.Matoussi等人提出的弱收敛方法新的充分条件.

设$M$为单位球面 $S^{n+1}$ 中的 $F$-Willmore超曲面.该文证明了, 若 $M$ 与Willmore环面 $W_{m,n-m}$(或Clifford环面$C_{m,n-m}$) 具有相同的平均曲率或第二基本型模长平方,并且 ${\rm Spec}^p(M)={\rm Spec}^p(W_{m,n-m})$ (或${\rm Spec}^p(M)={\rm Spec}^p(C_{m,n-m})$), 其中 $p=0,1,2$, 则有$M=W_{m,n-m}$ ($M=C_{m,m}$).这里的$F$-Willmore超曲面是$F$-Willmore泛函的临界点,其中$F$-Willmore泛函是Willmore泛函的一种推广.

研究一类如下含非对称扰动函数的双调和方程:\begin{align*}\Delta^2u-\Delta u+u=K (x)|u|^{p-2}u+K (x)|u|^{q-2}u,x\in\mathbb{R}^N,\end{align*}其中$N\geq 5$且$2＜p＜q＜4^*=\frac{2N}{N-4}$.首先通过构建广义Lieb型紧性定理,我们证明了上述方程基态解的存在性.随后,结合变号Nehari流形方法,极小极大方法和Miranda定理,给出了上述方程变号解的存在性结果.

该文通过对偶空间的方法给出了 Toeplitz算子有界性及紧性的刻画. 当 $1\leq p<\infty$ 时,完整的描述了上半平面 Békollé 权 Bergman 空间上 Toeplitz算子的 Schatten-$p$ 类. 此外, 还通过给出上述 Bergman空间的原子分解, 研究了 $0<p<1$ 时 Toeplitz 算子的 Schatten-$p$类.

本文讨论单位区间上平顶反双峰(即减-平-增-平-减型)连续自映射的迭代根,将单位区间上平顶反双峰连续自映射进行分类,得到了每一类平顶反双峰连续自映射具有$n$阶迭代根的充要条件.

本文首先证明了离散测度$\mu$的Orlicz$-$Minkowski问题解的存在性. 然后, 利用离散Minkowski问题的解和凸体逼近的方法,得到了一般测度$\mu$在去掉偶性条件下的 Orlicz$-$Minkowski问题解的存在性.

设${\bf D}$是个具有唯一分支点的局部树突, $f:{\bf D} \rightarrow {\bf D}$是个连续映射. 分别用 $R(f)$和$\Omega(f)$表示$f$的回归点集和非游荡点集. 设$\Omega_0 (f)={\bf D}$,且对任正整数$k$, $\Omega_k (f)=\Omega (f|_{\Omega_{k-1} (f)})$.使$\Omega_{k} (f)=\Omega_{k+1} (f)$的最小的$k$称为$f$的深度,这里$k$是正整数或$\infty$. 在本文,我们证明$\Omega_2(f)=\overline{R(f)}$且$f$的深度最多是2.

设$x$是有向图$D$的顶点,用$|N_{D}^{+}(x)|$表示从$x$出发,与$x$的距离为1的顶点数,用$|N_{D}^{++}(x)|$表示从$x$出发,与$x$的距离为2的顶点数.1990年,Seymour提出如下猜想:每一个定向图$D$都存在一个顶点$x$使得$|N_{D}^{+}(x)|\leq|N_{D}^{++}(x)|$,该点称为Seymour点.2018年,Dara 等人提出如下猜想:每一个无汇点的定向图至少包含两个Seymour点.本文主要研究有向图的线图是否存在Seymour点,并给出了线图存在Seymour点的充分必要条件.特别地,证明了定向图的线图一定存在Seymour点.此外,还分别给出了有向图的跳图(即线图的补图)至少包含一个Seymour点或两个Seymour点的充分必要条件.

设$T_β$(其中$β>1$) 为定义在$[0,1]$上的$β$- 变换.本文研究了$β$动力系统中二维情形的精确渐近逼近集和精确一致逼近集的度量性质.作为推论,对任意$0 \leq \hat{v} \leq \infty$,我们可以得到一致逼近集$$\bigg\{(x,y)\in[0,1]^2:\forall N\gg1, \exists 1\leq n\leq N \text{使得}\!\!\begin{array}{c}T_{β}^nx ＜β^{-N \hat{v}}\\T_{β}^ny＜β^{-N \hat{v}}\end{array}\!\!\bigg\}$$的豪斯多夫维数.除此之外,我们还确定了乘积型精确逼近集$$\{(x,y)\in[0,1]^2:v_{L,β}(x,y)=v\}$$的豪斯多夫维数,其中$v_{L,β}(x,y)$表示使得$T_β^nx\cdot T_β^ny＜\frac{1}{β^{nv}}$对无穷多个$n \in \mathbb{N}$成立的$v$的上确界.