该文通过对偶空间的方法给出了 Toeplitz算子有界性及紧性的刻画. 当 $1\leq p<\infty$ 时,完整的描述了上半平面 Békollé 权 Bergman 空间上 Toeplitz算子的 Schatten-$p$ 类. 此外, 还通过给出上述 Bergman空间的原子分解, 研究了 $0<p<1$ 时 Toeplitz 算子的 Schatten-$p$类.

基于因变量抽样设计(Outcome-Dependent Sampling Design,简称ODS抽样设计)是一种回溯性的有偏抽样方法.对于大规模数据的研究,ODS抽样机制能够节约研究成本和提高效率.本文探讨如何应用广义线性模型来拟合采用ODS抽样设计获取的高维数据.受梯度下降思想的启发,本文发展了两种改进的自适应矩估计算法来解决高维ODS数据的广义线性回归中估计的数值计算问题,并证明了所提出算法的收敛性.所提出的这些自适应矩估计算法避免了计算高维矩阵及其逆矩阵,表现优良.本文通过一系列的模拟研究展示了所提出算法的性能,并应用所提出的算法分析了一个实际数据.

本文证明了每一对满足必要条件的充分大的偶数可以同时表示为两个素数的平方,四个素数的立方与$k=27$个$2$的方幂之和。这改进了最近的结果$k=150$.

本文通过对变阻尼的二阶动力系统进行差分离散化,获得了极大单调算子对应的单调包含问题数值解的一类新型惯性类算法.和传统惯性算法相比,本文所给迭代算法的收敛性只需要惯性系数处于(0,1),极大弱化了传统的收敛条件; 与此同时,该算法还弱化了动力系统中的阻尼参数的要求.最后给了一个实例验证了该算法的有效性.

本文考虑具有Hölder连续系数的随机泛函微分方程.在广义Veretennikov-Khasminskii条件下,证明了该类方程具有唯一的不变概率测度,并且其片段过程的转移概率在Wasserstein距离下以指数速度收敛到该不变测度.

研究一类如下含非对称扰动函数的双调和方程:\begin{align*}\Delta^2u-\Delta u+u=K (x)|u|^{p-2}u+K (x)|u|^{q-2}u,x\in\mathbb{R}^N,\end{align*}其中$N\geq 5$且$2＜p＜q＜4^*=\frac{2N}{N-4}$.首先通过构建广义Lieb型紧性定理,我们证明了上述方程基态解的存在性.随后,结合变号Nehari流形方法,极小极大方法和Miranda定理,给出了上述方程变号解的存在性结果.

本文给出了有限状态单生过程第一非平凡特征值的三种变分公式,并由此得到了第一非平凡特征值的上下界显式估计.利用首次击中时,给出了第一非平凡特征值对应特征向量的新表示.

本文给出了Dunkl-Calderón-Zygmund算子及其极大算子在变指标Dunkl-Lebesgue空间上的有界性.主要的研究工具有Dunkl尖锐函数,Dunkl框架下的Cotlar不等式以及Dunkl-Hardy-Littlewood极大算子在变指标Dunkl-Lebesgue空间上的有界性.本文或是在变指标框架下的Dunkl调和分析研究的首次尝试.

设$T_β$(其中$β>1$) 为定义在$[0,1]$上的$β$- 变换.本文研究了$β$动力系统中二维情形的精确渐近逼近集和精确一致逼近集的度量性质.作为推论,对任意$0 \leq \hat{v} \leq \infty$,我们可以得到一致逼近集$$\bigg\{(x,y)\in[0,1]^2:\forall N\gg1, \exists 1\leq n\leq N \text{使得}\!\!\begin{array}{c}T_{β}^nx ＜β^{-N \hat{v}}\\T_{β}^ny＜β^{-N \hat{v}}\end{array}\!\!\bigg\}$$的豪斯多夫维数.除此之外,我们还确定了乘积型精确逼近集$$\{(x,y)\in[0,1]^2:v_{L,β}(x,y)=v\}$$的豪斯多夫维数,其中$v_{L,β}(x,y)$表示使得$T_β^nx\cdot T_β^ny＜\frac{1}{β^{nv}}$对无穷多个$n \in \mathbb{N}$成立的$v$的上确界.

设 $H$ 是正整数, $p$ 是奇素数. 对 $1\le x,y,z\le H$,我们利用 Salié和的估计, 研究了形如 $x^2+y^2+z^2+k$,$x^2+y^2+z^2+k+1$ 连续的无 $r$-因子数的分布,并获得了相应的渐近公式.

设$x$是有向图$D$的顶点,用$|N_{D}^{+}(x)|$表示从$x$出发,与$x$的距离为1的顶点数,用$|N_{D}^{++}(x)|$表示从$x$出发,与$x$的距离为2的顶点数.1990年,Seymour提出如下猜想:每一个定向图$D$都存在一个顶点$x$使得$|N_{D}^{+}(x)|\leq|N_{D}^{++}(x)|$,该点称为Seymour点.2018年,Dara 等人提出如下猜想:每一个无汇点的定向图至少包含两个Seymour点.本文主要研究有向图的线图是否存在Seymour点,并给出了线图存在Seymour点的充分必要条件.特别地,证明了定向图的线图一定存在Seymour点.此外,还分别给出了有向图的跳图(即线图的补图)至少包含一个Seymour点或两个Seymour点的充分必要条件.

本文主要研究分段线为直线的平面分段光滑哈密顿系统的高阶Melnikov函数算法.首先,给出了一个对称形式的任意阶Melnikov函数公式,其次,应用所提出的高阶Melnikov函数算法研究了一类分段线性系统的极限环分支问题.

本文研究具有混合部分耗散的三维各向异性磁流体方程的整体适定性和解的长时间行为. 首先证明了小初值解的整体存在性和唯一性. 进一步地, 当初值属于负Sobolev空间时, 建立了解的最优衰减估计. 特别地, 对速度场的第三分量和磁场的第一分量得到了增强的衰减估计.

设$G=(V,E)$是一个局部有限图.$\Omega\subset V$是一个连通的有限子集.本文考虑以下非线性狄利克雷问题\begin{align*}\begin{cases}-\Delta_{p}u (x)=f (x,u),&\mbox{在}Ω{中},\\u (x)=0,&\mbox{在}∂Ω{上},\end{cases}\end{align*}其中$\Delta_{p}$表示$p$-拉普拉斯算子.通过使用Morse理论与局部环绕方法,我们证明了对于任意$p>1$,在某些假设下,上述方程至少存在两个非平凡解.此外,类似的方法也被用于证明以下$p$-双调和方程的多重解中:\begin{align*}\begin{cases}\Delta_{p}^{2}u (x)=g (x,u),&\mbox{在}Ω{中},\\u (x)=\Delta u (x)=0,&\mbox{在}∂Ω{上},\end{cases}\end{align*}其中$\Delta^{2}_{p}u=\Delta (\vert\Delta u\vert^{p-2}\Delta u)$表示$u:V\to\mathbb{R}$的$p$-双调和算子.

假设$\mathbb{F}$是特征为0的域,$\Gamma$是$\mathbb{F}$的加法子群,$s\in\mathbb{F}$且满足$s\notin\Gamma$但$2s\in\Gamma$.我们定义了一类无限维李代数,称之为广义扩张的圈Schrödinger-Virasoro代数$\mathscr{W}_{L}[\Gamma,s]$.本文我们确定了$\mathscr{W}_{L}[\Gamma,s]$的导子代数.同时也给出了$\mathscr{W}_{L}[\Gamma,s]$的中心扩张的导子代数.

本文对控制系统引入了不变熵点和一致不变熵点,讨论了这些熵点的一些基本性质.对一类特殊的能控不变集,证明了可以在该集合中找到一个可数闭子集使得该可数闭子集的不变熵等于该能控不变集的不变熵.

本文定义了无限可数离散顺从群作用上的随机动力系统的拓扑熵, 并得到随机动力系统中拓扑熵与测度纤维熵之间的变分原理.

研究了四次 Jacobsthal和与Kloosterman和高次混合均值的计算问题. 应用初等方法以及Gauss和与特征和的若干性质, 给出了一个有趣的递推公式及显式公式.

本文在Hilbert空间上提出了一种解决变分不等式问题的新的惯性投影反射梯度法.此外,在一些合理的参数条件假设下,我们证明了由算法生成的序列弱收敛到变分不等式解集的一个元素.所得结果推广和改进了很多最新结果.

本文研究了紧李群中带有非线性项$|\partial_t^k\psi|^p$ 的半线性Moore-Gibson-Thomp son (MGT)方程,其中$k=0,1$. 利用无界乘子切片迭代方法, 本文证明了对任意$p>1$和$k=0,1$的情况下, 方程的能量解会在有限时间内爆破.这结果对于黏性或者无黏方程均是成立的.我们也得到了局部解生命跨度的上界估计.该结果表明MGT方程的黏性耗散在欧氏空间和紧李群上的不同影响.

研究一类具有变指数和退化强制的椭圆方程.方程主要特点在于一阶项的系数函数在某一Lorentz空间. 借助于变指数和退化强制框架下的Marcinkiewicz估计, 得到了解序列的Lorentz估计. 通过选取一些合适的检验函数, 证明了截断序列在能量解空间中的强收敛.

本文考虑了一类混合型Hessian方程的刘维尔定理.特别地,本文证明了$\mathbb{R}^n$上,方程${\sigma_2(D^2u)}/{\sigma_1(D^2u)}=1$的半凸解是二次多项式.

在本文中, 我们研究下述 $p$-Laplace 问题:$$\left\{\begin{array}{l}-\Delta_p u+V(x)|u|^{p-2}u=|u|^{{p^*}-2}u+a(x)|u|^{q-2}u,\quad x\in\mathbb{R}^N,\\u\in W^{1,p}(\mathbb{R}^N),\end{array}\right.$$其中 $N>p^2$, $1<p<q<p^*$ 且 $p^*=\frac{Np}{N-p}$ 是 Sobolev临界指数, $\Delta_p:=\text{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$ 是一个$p$-Laplace 算子, $V$ 是一个非负函数. 在 $V$和 $a$满足一定的条件下, 通过使用重心函数, 形变引理和Brouwer度理论,证明了上述问题至少存在两个不同的正解.

本文研究了 Hom-李代数的结构理论.Hom-李代数是通常李代数的推广, 可以通过李代数及其自同态形变得到.利用李代数 $W(2,2)$ 的自同态 $\phi$ 构造 $W(2,2)$ 型Hom-李代数$({\mathcal L},[,],\phi)$, 确定了 $W(2,2)$ 型Hom-李代数$({\mathcal L},[,],\phi)$上的转置Hom-Poisson结构.

本文研究了欧氏空间$\mathbb{R}^{n+1}$中光滑的闭的$(\eta,k)$-凸超曲面的一类扩张流,扩张速度为$fu^{\alpha}\rho^{\delta}\sigma_k^{-\frac{\beta}{k}}(\lambda (\eta))$,其中$f$是$\mathbb{S}^n$上的光滑函数,$u,\rho$分别是超曲面的支撑函数和径向函数,$\alpha,\delta\in\mathbb{R}^1$,$\beta>0$,$1\leq k\leq n$,$\eta=Hg-h$为超曲面的第二基本形式$h$关于诱导度量$g$的第一牛顿变换,$\lambda (\eta)$为$g^{-1}\eta$的特征值.当$f=1$,$\alpha+\delta+\beta\leq 1$时,我们证明了经过伸缩变化之后的曲率流以指数速率光滑收敛到一个以原点为中心的球面.对于一般的函数$f$,当$\alpha+\delta+\beta< 1$时,我们证明了该曲率流的光滑解长时间存在唯一性,并证明曲率流经过适当的伸缩变换之后光滑收敛到方程$fu^{\alpha-1}\rho^{\delta}\sigma_k^{-\frac{\beta}{k}}(\lambda (\eta))=\gamma$的唯一的光滑解.最后,我们考虑了一个更一般的曲率流，对一类Hessian商方程解的存在性给了一个新的证明.

设$\mathcal H$是维数$n\ge 3$的复Hilbert空间,$\mathcal{P}(\mathcal{H})$是$\mathcal{H}$上全体投影算子所组成的集合,$\varphi$是从$\mathcal{P}(\mathcal{H})$到自身的满射.若$\varphi$保持投影算子对的联合谱,那么$\varphi$保持投影的酉等价性,且$\varphi$是$\mathcal{P}(\mathcal{H})$上的格同构,进而$\varphi$可由一个半线性同构导出.若$\psi$是从$\mathcal{P}(\mathcal{H})$到自身的满射,且$\psi$保持由单位算子$I$和任意两个投影算子所构成的投影算子组的联合谱,则$\psi$保持投影的正交性,进而$\psi$可由一个酉元或反酉元导出.

在Hilbert空间上提出一种新的迭代算法,求解均衡问题、非扩张映射族的不动点问题和分裂变分包含问题.在适当的参数限制条件下,证明了该算法强收敛于以上三类问题的公共解,并给出数值例子说明了该算法的有效性.

本文研究了两个相互独立的实值球面高斯随机场相交局部时的性质.利用球面高斯随机场的增量均方差和强局部不确定性,得到了其相交局部时的存在性,并运用占位密度理论和矩方法获得了其相交局部时的联合连续性和Hölder条件.这些结果将欧氏空间中高斯场的情形推广到了球面高斯场,进一步完善了更为复杂的球面高斯随机场的样本轨道性质.

首先,本文介绍并研究了左取消小范畴上的乘积系统.其次,本文引入了有限列左取消小范畴上紧列的乘积系统及其Nica协变的Toeplitz表示的概念.最后,本文证明了对群胚的有限列子范畴上紧列乘积系统的单的、规范相容的、Nica协变的Toeplitz表示,其余泛$C^*$-代数是存在的.

本文研究了一类Forelli-Rudin结构的Bergman核函数的$d$-有界性. 利用级数法与华罗庚方法, 我们推导出Bergman核函数的表达式. 当参数$\frac{1}{p_1}, \, \frac{1}{p_2}\in\mathbb{Z}^+$时, 给出了该域上Bergman 核函数的有限形式表示. 通过域的两个全纯不变量, 我们得到了Bergman 核函数在Bergman 度量下是$d$-有界的. 作为推论, 我们得到了Forelli-Rudin 结构上的$L^2$ 上同调消没定理成立.

本文中, 我们将研究复值调和 Hardy 空间和加权 Bergman 空间的Hardy-Stein 恒等式并发现二者具有仿射不变性. 作为应用,建立了单位圆盘上复值调和映射的复合运算的 Hardy-Stein 恒等式. 同时对Hardy 空间和加权 Bergman 空间中调和映射与其解析部分间关系进行研究.我们的结果是实值调和 Hardy 空间和加权 Bergman 空间中相关结论的推广.

时空面板数据广泛存在各学科研究领域,对时空面板数据进行统计建模和实证分析具有重要的理论意义和应用价值.本文提出了一种具有可分时空过滤器的固定效应部分线性变系数面板模型,研究了其估计、检验和应用. 首先, 基于局部线性哑变量方法,构造模型参数和变系数函数的截面拟极大似然估计以及检验变系数效应的 F检验统计量; 其次,论证了估计的相合性和渐近正态性以及检验统计量的渐近分布; 第三, 采用Monte Carlo 模拟调查了估计和检验统计量的有限样本表现; 最终,将此模型的估计技术和检验方法应用于我国地区重工业碳排放强度的驱动因素分析.

Plateaued 函数是一类具有理想密码学特性的密码函数. 在奇特征的情形下,模仿经典 bent 函数的 Maiorana-McFarland 构造,本文首先构造了广义 Walsh-Hadamard 变换具有两两互不相交支集的广义 $s$-plateaued 函数, 以此为基础,构造了 $p$-元广义 bent 函数, 继而, 利用得到的广义 bent 函数, 构造支集两两互不相交的广义 plateaued 函数.对于对偶函数是相对 (广义) bent 函数的 (广义) plateaued 函数 $f$, 利用代数数论中分圆域的相关结论,本文证明了 $f^{**}(x)=f(-x)$.

本文在 Hilbert 空间中研究求解可分离凸优化问题的基于 Hessian 阻尼的Tikhonov 正则化原始-对偶动力系统. 借助适当的假设条件, 首先得到原始对偶间隙, 目标函数残差以及可行性约束违反度沿系统轨道的收敛速率结果. 随后, 在不同的参数假设下, 给出现有文献中已有的一些收敛速率结果. 进一步地, 证明动力系统解轨道强收敛于该优化问题的最小范数解. 最后, 数值实验表明~Hessian 阻尼可确保轨道收敛得更加平滑, 并且 Tikhonov 正则化可确保轨道的强收敛性.

图$G$的两个嵌入$\Pi$与$\Pi'$称为同构的嵌入,如果存在图$G$的自同构$\psi$将嵌入$\Pi$的面集$\mathcal{F}(\Pi)$一一映射到嵌入$\Pi'$的面集$\mathcal{F}(\Pi')$. 本文通过引入图嵌入的边扩充构造方法,确定了完全二部图 $K_{M,N}$至少有$\frac{2^{mn}}{8MN}$$(n!)^{m}$$(m!)^{n}$个不同构的可定向亏格嵌入以及$\frac{2^{mn}}{8MN}$$(2^{mn}$$-1)$$(n!)^{m}$$(m!)^{n}$个不同构的不可定向亏格嵌入,其中$m=\lfloor(M-2) / 2\rfloor$ and $n=\lfloor(N-2) / 2\rfloor$.本文所得完全二部图$K_{M, N}$的不同构亏格嵌入个数下界关于参数$M$与$N$是对称的,而且将已有研究结论改进了至少$(m!)^{n}(n!)^{m}$倍.

本文将 有限维 Lie 双代数的 Drinfeld double 推广到无限维Lie 双代数的情形, 并给出了 Witt 型与 Virasoro 型 Lie 双代数的Drinfeld double.

设 $0<\alpha<1$, $1<p<\frac{1}{\alpha}$,$\frac{1}{q}=\frac{1}{p}- \alpha$. 本文首先得到了权函数$\omega\in\mathcal{A}(1,q)(\mathbb{Z})$当且仅当离散分数次极大算子$M_{\alpha}$ 或离散 Riesz 位势 $I_\alpha$是 $\left(l_\omega^1(\mathbb{Z}), l_{\omega^q}^{q, \text { weak }}(\mathbb{Z})\right)$有界的. 当 $q=\infty$ 时,本文进一步得到了权函数$\omega\in \mathcal{A} (p,\infty)(\mathbb{Z})$当且仅当离散Riesz位势 $I_\alpha$ 有一个关于离散拟 BMO范数的上界估计. 此外, 对于$\omega \in \mathcal{A}(p,q)(\mathbb{Z})$,$I_\alpha$是 $(l_{\omega ^p}^{p}(\mathbb{Z}), l_{\omega^q}^{q}(\mathbb{Z}))$ 有界的, 本文关于此结果给出了一个简单的证明.作为应用, 当 $\omega\in\mathcal{A}(1,q)(\mathbb{Z})$ 或 $\omega \in\mathcal{A}(p,\infty)(\mathbb{Z})$ 时, 本文得到了更多关于$M_{\alpha}$ 和$I_\alpha$ 的加权范数不等式,其中的一些结果在连续情形下也是新的.