本文利用初等方法,结合同余方程解的个数与经典高斯和的性质研究了一类二项指数和五次均值的计算问题,并给出了精确的计算公式.

本文介绍向量值指数权Bergman空间$A^p_{\varphi}(\mathcal{H})$ $(1 ＜ p ＜ \infty)$上正算子值linebreak Toeplitz算子的一些性质. 首先, 讨论了从 $L^p_{\varphi}(\mathcal{H})$ 到 $A^p_{\varphi}(\mathcal{H})$ 上的Bergman投影何时是有界的, 得到了向量值指数权Bergman空间的对偶. 其次, 得到了Carleson条件的几种等价描述, 并用之来刻画Toeplitz 算子在$A^p_{\varphi}(\mathcal{H})$ 上的有界性和紧性. 最后, 考虑了作用于 $A^2_{\varphi}(\mathcal{H})$ 上的Toeplitz算子的Schatten-$p$类.

设 $\mathbb{F}_{q}$ 为 $q$ 阶有限域, $\mathbb{F}_{q^{n}}$ 为 $\mathbb{F}_{q}$ 的 $n$ 次扩域. 设$\alpha\in\mathbb{F}_{{q}^n}$, 若 $\{\alpha,\alpha^{q},\ldots, \alpha^{q^{n-1}}\}$ 构成$\mathbb{F}_{q^{n}}/\mathbb{F}_{q}$ 的一组基, 称 $\alpha$ 为 $\mathbb{F}_{q^{n}}/\mathbb{F}_{q}$ 的正规元. 正规元可用来加速有限域上的算术运算, 因而在编码和密码中具有重要应用. 正规元的极小多项式一定是非零迹的不可约多项式, 但反之未必成立. 本文利用线性化多项式给出了关于该问题的一组充分必要条件, 推广了已知结论.

令 $\mathbb{F}_q$ 是一个含有 $q$个元素的有限域, 其中 $q$ 是素数 $p$ 的方幂, $t \ge 2$ 是满足$t\not \equiv 1\ (\bmod \,p)$ 的偶数, 且 $\mathbb{F}_{{q^t}}$ 是$\mathbb{F}_q$ 的次数为 $t$ 的扩域. 本文给出$\mathbb{F}_{{q^t}}^n$ 上的一个迹双线性型内积 $\Delta$, 其中 $n$是一个与 $q$ 互素的正整数. 根据定义的迹内积, 研究循环$\Delta$-自正交和循环 $\Delta$-自对偶 $\mathbb{F}_q$-线性$\mathbb{F}_{{q^2}}$-码的基和计数. 此外, 给出一些参数好的$\mathbb{F}_q$-线性 $\mathbb{F}_{{q^2}}$-码.

在本文中,我们主要研究了一类$\mathbb{C}^{n+1}$中的区域$\Omega^{n+1}_k=\{(z,w)\in\mathbb{C}^n\times\mathbb{C}:|z|^k<|w|<1\}$,其中$k\in\mathbb{Z}^+$,此区域是经典Hartogs三角域的推广.首先我们获得了这类域上Bergman核函数的显式公式,其次给出了使得Bergman投影$L^p$有界的$p$的取值范围,并且我们证明了$p$的这一范围是一个充分必要条件.

本文主要研究了一些与模素数 $p$有关的同余方程解数的计算问题, 并给出精确的计算公式.

本文利用初等数论的知识研究Fibonacci数列奇偶数项三次方的倒数和问题并给出两个有趣的恒等式.

基于 Mazur 关于扭转子群的完全分类的结论,以及相关丢番图方程正整数解的结果,研究了导子含有三个相异素因子的椭圆曲线,确定了含有阶为 $n\ ( n \geq 6, n\neq 11)$ 的有理点的椭圆曲线,并给出了这些椭圆曲线判别式的上界.

本文提出了一种非负投影相关系数(non-negative projectioncorrelation coefficient (NPCC))来度量两个随机向量之间的相关性,其中投影方向来自标准多元正态分布.NPCC是非负的且当且仅当两个随机向量独立时, 其取值为0. 此外,它的样本估计不涉及调节参数, 也不需要对随机向量施加任何矩条件.基于NPCC, 我们进一步提出了一种适用于超高维数据的特征筛选程序.该程序具有稳健性、与模型无关且在弱假设下同时享有确定筛选性质和秩相合性.蒙特卡罗模拟研究表明, 与现有方法相比,基于NPCC的筛选程序具有很好的竞争力. 最后,我们将所提出的筛选程序应用于实际数据分析.

给定图 $G$, 我们称 $G$ 中长度至少为 4 的导出圈为 $G$ 的洞,长度为奇数或偶数的洞分别被称为是奇洞或偶洞. 我们用HVN来表示一个由 $K_4$ 添加一个点并向 $K_4$ 连两条边所得的图, 用 $H$表示长为 7 的圈的补图. Chudnovsky 等人在[J. Combin. Theory B, 2010, 100: 313—331]中 证明了每一个无奇洞且无 $K_4$ 的图是 $4$-可染的,且其色数为$4$当且仅当其含有 $H$ 为导出子图. 在本文中,我们将这一结论推广到无奇洞且无 ${\rm HVN}$ 的图类上. 设 $G$是一个无奇洞且无 ${\rm HVN}$ 的图, 我们证明了若 $G$ 含有 $H$为导出子图, 则 $G$ 有一个特殊的割集或者属于两类特殊图,作为推论我们证明了 $\chi(G)\le \omega(G)+1$, 且等号成立当且仅当$\omega(G)=3$ 且 $G$ 含有 $H$ 为导出子图,从而完全确定了这类图的色数.

本文研究了非正则区域的加权分数阶 Sobolev-Poincaré不等式. 这里考虑的权重是到边界距离的某次幂, 并且这些区域是所谓的$s$-John 区域和 $\beta$-Hölder 区域. 我们的主要结果将Hajlasz-Koskela的文 [J. Lond. Math. Soc., 1998, 58(2):425-450] 结果从经典加权 Sobolev-Poincaré不等式推广到它的分数阶对应式, 并且将 Guo 的文[Chin. Ann.Math., 2017, 38B(3): 839-856] 从分数阶 Sobolev-Poincaré不等式推广到其加权情形.

磁流体动力学(magnetohydrodynamics)研究的是导电流体在外加电磁场的运动行为,本文研究了一维空间中平面磁流体动力学方程组柯西问题的行波解的存在性和时间渐近稳定性.我们从平面磁流体动力学方程组与 Navier—Stokes方程的紧密联系中受到启发,证明了在小扰动条件下可压缩平面磁流体动力学方程组行波解的时间渐近稳定性.

本文给出了研究一类三维多项式微分系统中心流形上等时中心的直接方法.首先, 定义了三维系统的等时常数, 并给出了求等时常数的递推公式,由此,不经中心流形而直接计算等时常数确定等时性的必要条件. 在应用部分,解决了两类具体系统的等时中心问题.该方法是平面微分系统刘一戎奇点量计算形式级数方法的推广与发展.其算法是线性的, 十分便于计算机代数系统来实现.

本文研究了如下系统\begin{equation*}\begin{array}{ll}\left\{\begin{array}{ll}\dot{x}=\omega+y+f (x,y),\\[0.1cm]\dot{y}=g (x,y)\end{array}\right.\end{array}\end{equation*}的不变环面的保持性问题,其中$x\in\mathbb{T}^\Lambda$,$y\in\mathbb{R}^\Lambda$,集合$\Lambda$是整数集合$\mathbb{Z}$的可数子集,频率$\omega=(\ldots,{{\omega}}_\lambda,\ldots)_{\lambda\in\Lambda}\in\mathbb{R}^\Lambda$是双边无穷有理不相关序列,也就是说,频率$\omega=(\ldots,{{\omega}}_\lambda,\ldots)_{\lambda\in\Lambda}$的任意有限部分都有理不相关,扰动项$f,g$是实解析函数.我们还假设上述系统关于对合$\mathcal{M}:(x,y)\mapsto (-x,y)$是可逆的.由KAM方法,证明了上述无穷维可逆系统的不变环面的保持性.

针对存在缺失数据的超高维可加分位回归模型,本文提出一种有效的变量筛选方法.具体而言,将典型相关分析的思想引入到最优变换的最大相关系数,通过协变量和模型残差最优变换后的最大相关系数重要变量的边际贡献进行排序,从而进行变量筛选. 然后,在筛选的基础上,利用稀疏光滑惩罚进一步做变量选择.所提变量筛选方法有三点优势:(1)基于最优变换的最大相关可以更全面的反映响应变量对协变量的非线性依赖结构;(2)在迭代过程中利用残差可以获取模型的相关信息,从而提高变量筛选的准确度;(3)变量筛选过程和模型估计分开, 可以避免对冗余协变量的回归.在适当的条件下,证明了变量筛选方法的确定性独立筛选性质以及稀疏光滑惩罚下估计量的稀疏性和相合性.同时,通过蒙特卡罗模拟给出了所提方法的表现并通过一组小鼠基因数据说明了所提方法的有效性.

洛伦兹型映射是具有不连续点的分段扩张映射,其不连续性来源于展示蝴蝶效应的洛伦兹方程的奇点,该映射可观测的统计性质由绝对连续的不变测度给出.本文考虑一类改进的洛伦兹型映射 $f$ 的扰动 $f_t=f+tX\circ f$,对应绝对连续测度 $\mu$ 的扰动记为 $\mu_t$. 我们证明如果 $X$ 在 $f$的不连续点集的所有像集上取值为零,则它的敏感性公式$$\Psi(\lambda)=\sum\limits_{n=0}^\infty \lambda^n \int \mu(dx)X(x)\dfrac{\partial(\varphi(f^nx))}{\partial x},\quad\varphi\in C^1, $$在 $\lambda=1$ 处是收敛的,从而得到线性响应公式 $\frac{d}{dt}|_{t=0}\mu_t(\varphi)=\Psi(1)$成立.

本文研究了Hilbert空间中求解分裂可行性问题和拟非扩张算子不动点问题的公共解的一种新算法,并在这两类问题公共解的基础上求解了变分不等式问题. 与前人相比,增加了自适应的步长和惯性迭代算法,加快了算法生成的迭代序列的收敛速度.同时, 将先前涉及的非扩张映射推广到拟非扩张映射,且在算法中加入了一个强正有界算子,将原来的黏性迭代算法推广到更一般的黏性迭代算法.在数值算例中验证了算法的有效性.

本文在Hilbert 空间上提出了一种关于伪单调变分不等式问题的Bregman 外梯度算法. 在对参数进行合理假设的情况下, 得到了该算法的弱收敛定理. 所得结果推广和提高了许多最新结果.

令$\rho$是欧氏空间$V$上的一个正交表示,$SV$是$V$的单位球面.设$\bar{d}_{\mathcal{H}}$与$d_{\mathcal{H}}$分别为$V$与$SV$上由$\rho$诱导的水平度量.我们的主要结果是证明以下条件是互相等价的: (1) $\rho$是极表示.(2) $(V, \bar{d}_{\mathcal{H}})$是一个CAT$(0)$空间. (3) $(SV,d_{\mathcal{H}})$是一个CAT$(1)\,\hbox{空间.}$

在本文中,我们将考虑推广至具有典范奇点的复解析簇上的缠多典则丛奇异度量的比较问题.对在复平面单位圆盘上的代数纤维,我们将证明若在具有典范奇点的复解析簇纤维上缠线丛的奇异度量斜率为零,则定义于代数纤维上的相对缠$m$-Bergman度量在该解析簇纤维上的限制与其内蕴缠$m$-Bergman度量相等.

在医学、遗传学、经济学等领域的研究中,线性回归模型常被用来研究变量间的回归关系, 以进行分析和预测.而在很多实际问题中, 仅仅考虑主效应的影响是远远不够的,变量之间的交互效应也会对因变量产生重要影响,同时考虑主效应和交互效应的交互模型能更全面地刻画变量之间的关系.在高维数据中, 变量的个数 $p$ 比较大, 二阶交互项的个数$\frac{p(p+1)}{2}$ 更大,此时对交互模型的统计分析存在很大的困难和挑战.如何从众多交互效应中挑选出对感兴趣事件有显著影响的重要交互效应是一个非常重要的问题.目前对此问题的研究主要集中在线性模型框架下的完全数据,本文将研究超高维右删失生存数据中重要交互效应的选取.基于距离相关系数和两步分析法的原理,本文提出了一种不依赖于任何模型假设的交互效应变量筛选方法.此方法可以同时实现重要主效应和重要交互效应的选取, 且可以处理 $p$很大的超高维数据.本文通过大量的数值模拟试验评估了该方法在有限样本下的表现,结果显示此方法能有效地处理超高维右删失数据中交互效应的选取问题.最后本文把它应用到弥漫性大b细胞淋巴瘤(DLBCL)数据的实例分析中.

关于亚纯函数Julia集的研究一直是复动力系统的热点问题之一. 本文通过研究二阶线性微分方程解在角域的增长性质, 就其Julia集的径向分布情况, 给出了更为精确的下界估计.

本文主要研究平面$\ell$-凸Legendre曲线,它是严格凸曲线的自然推广.本文一方面运用Green和Osher的方法,获得了$\ell$-凸Legendre曲线的Green-Osher不等式等号成立的充要条件,即当$F (x)$为$\mathbb{R}$上的严格凸函数时,等号成立当且仅当曲线$\gamma$为圆周.另一方面结合获得的定理,得到了一系列关于$\ell$-凸Legendre曲线的曲率积分不等式.特别地,当$\gamma$为严格凸曲线时,所获推论为Ros不等式、Green-Osher不等式、Gage等周不等式的改进形式.

$q$-形变 $W(2,2)$ 代数是一个Hom-李代数, 记作$\ W ^ q$. 本文利用代数方法, 得到$\mathcal{W}^q$的取值在伴随模上的 $2$ 阶上同调群$H^2(\ W ^q,\ W ^ q)$是2维的.

贝叶斯网络利用有向无圈图对多元联合概率分布中条件独立性进行约束,以实现其在不确定推理中的模块化分解, 降低概率推理的计算复杂度.它在概率推理、机器学习和因果推理中都有广泛的应用. 在实际中,如果采用分而治之或模型压缩的方法对贝叶斯网络进行结构学习或统计推断,那么需要人们寻找边际分布的极小马尔科夫子图(或极小独立图)来建立边际模型.为此,本文基于贝叶斯网的道义图研究贝叶斯网边际模型的极小马尔科夫子图,从统计和图论的观点对其进行了细致的刻画. 针对DAG模型的可压缩性,本文将基于有向导出路径的性质给出更直观的等价条件,同时又给出了若干充分条件, 这为判断模型是否可压缩到局部子模型上提供了更多的理论工具.

本文讨论了$n$ 维实空间中有界光滑域的$A_2$权调和Bergman 空间上正符号Toeplitz 算子. 通过平均函数和Berezin变换, 得到了Toeplitz 算子具有有界性和紧性的等价条件. 同时,也刻画了Schatten 类Toeplitz 算子.

我们考虑以下分数阶算子预定曲率问题:\begin{align} (-\Delta)^s u=K(y)u^{2_s^*-1},\quad u> 0,\ u\in D^s(\mathbb{R}^N), \nonumber \end{align}其中 $N\geq 3$, $0 ＜ s ＜ 1$, $2_s^*=\frac{2N}{N-2s}$ 是分数阶临界 Sobolev 指数, $K(y)$ 是一正函数. 当 $K(y)$ 有一列模趋于正无穷大的局部极大值点的条件下, 我们利用有限维约化方法, 证明了上述问题任意有限个多泡解的存在性. 这些解集中在 $K(y)$ 的 $k$ 个不同局部极大值点处.

本文的目标是在一般的 $p$-线性空间和局部$p$-凸空间框架下建立针对单值和拟上半连续集值映射的不动点定理、最佳逼近定理、和对应的Leray—Schauder 非线性(二择一)选择原理, 这里 $p\in (0, 1]$. 我们建立的不动点定理是在$p$-线性空间和局部$p$-凸空间对 Schauder 猜想的肯定答复, 对应的最佳逼近定理和Leray—Schauder 选择原理也是非线性泛函分析的核心工具.这些新结果统一和推广了目前在数学文献中存在的理论成果, 也是对作者最近工作([$Fixed$ $Point$ $Theory$ $Algorithms$ $Sci$. $Eng$., 2022, 2022: Paper Nos. 20, 26])的继续和深度发展.

对任意 quasitoric-流形, $\pi :M^{2n}\to P^{n}$,其上同调环表示为$H^{\ast}(M^{2n},\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[F_{1},F_{2},\ldots,F_{m}]/(\mathcal{I}_{P^{n}}+\mathcal{J}_{P^{n}})$,其中 $\mathcal{F}(P)=\{F_{1},F_{2},\ldots,F_{m}\}$ 是 $P^{n}$中所有余一维面的集合. 任取 $ P^{n}$ 的顶点 $\upsilon= F_{i1}\cap F_{i2}\cap\cdots\cap F_{in}$, 我们证明了 $$\langle [F_{i1}F_{i2}\cdots F_{in}],[M^{2n}]\rangle=\pm1,$$ 即$[F_{i1}F_{i2}\cdots F_{in}]$ 是 $H^{2n}(M^{2n},\mathbb{Z})$的生成元. 我们进一步利用这一结论讨论 quasitoric-流形的刚性问题,并证明如下结论: 若 $f^{*}:H^{\ast}(M_{1}^{2n},\mathbb{Z})\to H^{\ast}(M_{2}^{2n},\mathbb{Z})$ 是一个环同构, 则存在一一映射$\tilde{f}:{\rm Fix}(M_{1}^{2n})\to {\rm Fix}(M_{2}^{2n})$, 这里${\rm Fix}(M^{2n})$ 是 $T^{n}$-作用在 $M^{2n}$ 上的不动点.

本文首先证明了环面上三维不可压缩Oldroyd-B模型小初值解析解的全局存在性和指数衰减. 我们能够得到一个无黏性的先验估计. 基于这个先验估计, Oldroyd-B系统的无黏性极限能够被得到. 这里我们指出, 此系统的非线性二次项的导数比线性部分的高一阶, 而我们没有好的结构去克服这种导数损失问题, 因此我们只能在解析能量泛函空间中建立全局时间的结果, 而不是在有限阶导数的Sobolev空间中得到全局存在性.

设 $\mathcal{A}$ 是一个含单位 $e$ 的交换C*-代数, $\mathcal{M}$ 是一个满的 Hilbert $\mathcal A$- 模.$\mathcal{M}$ 到自身的有界 $\mathcal{A}$ -线性映射全体构成的代数记作${\rm End}_{\mathcal A}(\mathcal M)$, $\mathcal{M}$ 到 $\mathcal{A}$的有界 $\mathcal A$-线性映射全体组成的集合记作 $\mathcal M{'}$.在本文中, 我们证明了如果存在 $x_0\in\mathcal M$, $f_0\in\mathcal M{'}$ 使得 $f_0(x_0)=e$, 那么 ${\rm End}_{\mathcal A}(\mathcal M)$上的每个 $\mathcal A$-线性的 Lie 导子 $\delta$ 都是标准的. 即$\delta$ 可以分解成 $d+\tau$ 的形式, 其中 $d$ 是一个 $\mathcal A$-线性的导子, $\tau$ 是一个 $\mathcal{A}$-线性的中心值映射,并且对任意的 $A,B\in {\rm End}_{\mathcal A}(\mathcal M)$, 有$\tau(AB)=\tau(BA)$.

寻找算子的矩阵表示是算子理论的一个重要问题,计算这种离散形式对于算子方程的数值解也同样重要.传统上,二者都是通过基来完成,而本文通过HS-框架来完成.首先引入HS-框架广义交叉Gram矩阵的概念,讨论若干基本性质;接下来给出其可逆的充分必要条件及逆矩阵精确公式;特别地,例子展示矩阵是不可逆的若构成矩阵的序列是HS-框架而不是HS-Riesz基.最后得到若干稳定性结果,准确地说,证明了在小扰动下广义交叉Gram矩阵的可逆性是保持的.

本文主要给出了Hilbert空间中有界线性算子的数值半径不等式的若干推广形式.其次给出了两个有界线性算子和的数值半径不等式的改进形式.

在适当的假设条件下,本文给出了$(n+1)$-维Lorentz-Minkowski空间 $\mathbb{R}^{n+1}_{1}$中一类带有Dirichlet边值条件的Hessian商方程解的存在唯一性.事实上,该方程可以看作一类预定曲率问题, 同时也是工作[Mathematische Nachrichten, 2024, 297: 833-860]的延续.

已有大量证据表明,捕食者引起的恐惧效应可以对食饵产生间接影响,其效果可与直接捕杀食饵相媲美.本文构建了一个具有非局部恐惧效应的扩散型捕食系统,并对其进行了深入研究. 首先考察了系统解的存在性和有界性,随后讨论了常数稳态解的稳定性, 并通过采用 Lyapunov—Schmidt方法详细研究了稳态分支现象, 最后利用数值模拟验证了理论结果的正确性.

本文针对非光滑凸优化问题提出了一种带参数的自适应步长的快速迭代收缩阈值算法.利用参数化策略带来的自由度在实Hilbert空间上分别研究了目标函数$O$$(1/k^{2})$和迭代算法$o (1/k^{2})$的收敛速率,并在目标函数$F$一致凸的条件下获得了算法的强收敛性.此外,在该算法的基础上建立了连续动力系统模型，并获得了连续动力系统解的逼近性质.最后通过图像去噪实例验证了算法的优越性.

图嵌入$G$的部分对偶$G^A$是选择$G$的部分边集$A$做对偶, 它是经典的庞加莱对偶$G^*$ 的推广.与经典的庞加莱对偶不同的是,部分对偶$G^A$的亏格往往不等于$G$的亏格.类似于黄-刘图的非上可嵌入性刻画定理,对平面图我们先证明了非极大部分对偶平面图结构定理,并由此确定了平面三角剖分图$G$ 的部分对偶最大亏格,即当$G$为$3$-圈时, $G$的部分对偶最大亏格为$1$;否则$G$的部分对偶最大亏格为其顶点数减1.

本文基于修正的Cholesky分解提出了一种新的适用于超高维纵向数据的分位数特征筛选方法.首先,构建分位数最优估计方程用于处理潜在的异常值和厚尾分布.然后,基于修正的Cholesky分解对分位数最优估计方程中的协方差矩阵进行建模,进而提出一个迭代特征筛选算法.在一些正则条件下建立了筛选方法的渐近性质,例如筛选的相合性,排序的相合性.随机模拟和酵母细胞周期基因表达数据集的分析表明所提方法不仅能够快速地筛选出重要协变量,而且拥有更高的筛选精度.

本文利用反散射变换法探索了具有非零边界条件的离散Hirota方程,同时求解了分支点和谱奇异点上的任意阶极点.基于鲁棒反散射变换构造的Darboux矩阵,相较于现存研究成果,避免了对谱参数极限处理步骤,从而简化了计算过程.最终详细推导了几种有理解的紧化表达式,其中包含$W$-型孤子、呼吸波、以及高阶怪波解.并且通过绘制三维图和沿空间分量波的传播图,形象地展示了上述解的显著特征,此外,它们之间的相互作用也可直观地观察到.研究结果有助于解释相关的非线性波动现象,进而揭示其产生原理与机制.

本文在Hilbert空间中提出了一种新的关于单调变分不等式问题的Bregman超梯度方法. 此外, 在一些合理的参数假设条件下, 证明了算法的弱收敛定理. 最后, 我们给出了一些数值例子来说明该算法在收敛性方面的优势.