本文得到了在紧黎曼流形上，当Ricci曲率的积分有界时热方程正解的一种椭圆型梯度估计，证明了一种新的积分曲率条件下的体积比较定理，改进了Petersen-Wei的关于积分曲率的体积比较定理.

有限群$G$的子群$H$称为$G$的BNA子群，若对任意的$x\in G$有$H^{x}=H$或$x\in\langle H，H^{x}\rangle$.若有限群$G$的所有素数阶和$4$阶循环子群都是$G$的BNA子群，则称$G$为CBNA群.本文主要刻画CBNA群的结构，并且给出所有真子群都是CBNA群的完全分类.

通常用“小环”$A$，$B$上模的性质刻画三角矩阵环$T=\left (\begin{smallmatrix}A&U\\0&B\end{smallmatrix}\right)$上的模.我们反过来用“大环”$T$上的模范畴的模型结构，刻画了“小环”$A$，$B$上的Gorenstein投射模的稳定范畴$\underline{\mathcal{GP}}(A)$，$\underline{\mathcal{GP}}(B)$.为此，首先要引入Gorenstein投射$T$-模范畴的两个子范畴，并构造了与之对应的两个完备余挠对.此外，将模的余挠对推广到复形范畴，并研究了复形的同伦范畴中的等价与粘合.

本文首次提出完美置换的概念并研究它的代数性质和构造方法，解决了$2n+1$为素数时$n$阶完美置换的存在性.我们还利用完美置换给出了循环空间均衡拉丁方和对称空间均衡拉丁方的构造方法，它们在试验设计中有广泛的应用.

本文考虑独立同分布的随机环境中带移民的分枝过程$(Z_n)$.基于$(Z_n)$的结构，利用测度变换技巧，并借助随机游动的相关结果，我们得到关于log$Z_n$的Cramér型大偏差展式.

本文研究了集值映射的$(C，\varepsilon)$-超次微分.首先，引进了集合的$(C，\varepsilon)$-超有效点，呈现了$(C，\varepsilon)$-超有效点的一些性质和等价刻画，在$(C，\varepsilon)$-超有效性意义下，获得了集值优化问题的标量化定理.其次，定义了集值映射的$(C，\varepsilon)$-超次微分，研究了$(C，\varepsilon)$-超次微分的存在条件，建立了用$(C，\varepsilon)$-超次微分刻画的Moreau-Rockafellar定理.最后，作为应用，建立了涉及$(C，\varepsilon)$-超次微分的集值优化问题的最优性条件.本文获得的结果统一和推广了一些文献中用超次微分或$\varepsilon$-超次微分刻画的结果.

从1976年到2017年，Wintner，Delange，Ushiroya和Tóth逐步证明了定义在整数环上的多元算术函数都可以通过Ramanujan和加以展开.这类似于经典分析中周期函数的Fourier展开.本文主要研究了有限域上一元多项式环$\mathbb{F}_{q}[T]$上Ramanujan和的性质，并证明了定义在$\mathbb{F}_{q}[T]$上的多元算术函数也可以通过多项式Ramanujan和以及酉多项式Ramanujan和加以展开.

本文在Banach空间上提出一种关于伪单调变分不等式问题的新算法.在对参数强加适当的条件下，我们证明由算法生成的序列强收敛到变分不等式的一个元素.所得结果推广和提高了很多最新结果.

通过对复数域上单李代数的Loop代数进行一维导子扩张，得到一类无限维完备李代数;利用其根空间分解及无外导子的性质，证明了这类无限维完备李代数的2-局部齐次导子都是导子.

本文利用Brown单与Brown单增量的大偏差，得到了Brown单与Brown单增量的局部泛函重对数律.

本文研究分数扩散过程和其分部积分公式的关系.首先利用Bismut方法给出拉回公式，进而得到分数扩散过程的分部积分公式.反过来，证明了分数扩散过程可由其分部积分公式唯一刻画.

我们考察了Caputo型分数阶多点值问题的谱配置法.主要思路是求解由目标问题转换而来的非线性弱奇性Volterra-Fredholm型积分方程.出于考察算法收敛性的需要，我们研究了Volterra-Fredholm型Gronwall不等式.收敛性分析结果表明，算法具有谱收敛性质.数值实验结果也验证了此理论分析结果.目前关于分数阶多点值问题数值方法的研究比较少见.本文的方法及相应的收敛性分析能为相关课题的研究提供有益的参考.

令${\mathbb L}$为一个超Heisenberg-Virasoro 代数,具有一组${\mathbb C}$-$\!$基{$L_{n},I_{n},G_{n}\,|\, n\,{\in}\,{\mathbb Z}$},满足如下关系式 $[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n},\, [L_{m},I_{n}]=-nI_{m+n},\, [L_{m},G_{n}]=-nG_{m+n}$ 和$[G_{m},G_{n}]=I_{m+n}.$ 本文证明了${\mathbb L}$的所有超反对称超双导子都是内导子. 进一步, 我们还证明了${\mathbb L}$上的每个线性超交换映射都具有这样的形式: $\Psi(x)=f(x)I_{0}$对于所有$x\in{\mathbb L}$ 都成立, 其中$f(x)$ 是从${\mathbb L}$ 到${\mathbb C}$ 的线性映射.

设$\mathbb{C}_v$是关于非阿绝对值完备的代数闭域，$\varphi：\mathbb{P}^N\rightarrow\mathbb{P}^N$为定义在$\mathbb{C}_v$上次数大于1的态射，$\Phi$是$\varphi$的提升，$\mathcal{G}_\Phi$是$\Phi$的Green函数，$\rho$是$\mathbb{P}^N （\mathbb{C}_v）$上的弦度量.本文首先通过弦度量研究了高维射影空间中点的约化及线性分式约化的性质.利用Green函数$\mathcal{G}_\Phi$定义了态射提升的算术距离，研究了算术距离的性质，模拟1维射影空间上有理函数的结果，通过$\Phi$的Filled Julia集给出了$\Phi$具有好的约化的充要条件.同时，利用Green函数明确刻画了$\Phi$的Filled Julia集.

本文考虑精算模型受环境过程$\Theta$，保费收入计数过程$\eta$，索赔计数过程I，索赔额过程B影响，建立马氏链环境中带随机收入的复合二项风险模型，简称MRICM，给出其特征五元组；证明了存在概率空间$（\Omega，\mathscr{F}，P）$，及定义在其上的MRICM$（\Theta，\eta，I，B）$，它的特征五元组与给定的重合，并得出有限时间和无限时间条件破产概率的递推方程.

该文先研究基本耦合，得到全变差范数与基本耦合的一个等式.然后利用此等式研究一般状态空间下连续时间Markov过程的遍历性.对遍历的连续时间Markov过程，增加条件$\pi （f）<\infty$，利用耦合方法证明了存在满的吸收集，使得连续时间Markov过程在其上是$f$-遍历的.

本文研究具有Robin边界条件的传输特征值问题，运用指数型整函数的相关性质刻画特征值密度与势函数支撑区间长度的关系.同时，证明传输特征值问题等价于一类边界条件带有谱参数的Sturm-Liouville问题.

对于任意的实数$x\in （0，1）$，都有其唯一的Engel连分数展式.本文主要研究了部分商的对数构成的序列以非线性速度增长的例外集，给出了相关例外集Hausdorff维数的精确刻画.

矩阵型截面数据时间序列的优点在于可以同时刻画多个对象的多个属性.本文重点研究了矩阵型截面数据时间序列的自回归模型，给出了该模型的参数估计、模型识别、白噪声检验三个方面的理论结果.最后再利用矩阵型截面数据时间序列自回归模型，对两支银行股的日收益率序列和日成交量变化率序列进行建模分析.

量子态即Hilbert空间上迹为1的正算子.量子态集合是一个凸集.本文刻画了量子态集合上保持其凸组合的最大特征值不变的映射.

本文研究了五次对称群$S_5$与三阶循环群$C_3$直积的整群环的正规化挠单位.作为应用, 证明了$S_5\times C_3$满足Zassenhaus猜想.

本文主要建立了复Banach空间单位球上与$\mathbb{C}^n$中单位多圆柱上带有具体参数表示的一类螺型映射子族各项齐次展开式的精细估计.特别地，$k+1$阶齐次展开式的结果是精确的.同时给出复Banach空间单位球上与$\mathbb{C}^n$中单位多圆柱上带有参数表示的一类$k$折对称双全纯螺型映射子族各项齐次展开式的估计，且$k+1$阶齐次展开式的结果也是精确的.所得结果包含一些先前文献的许多已有结论.

本文通过张量在T-乘积下的T-Moore-Penrose逆、T-Drazin逆以及T-core-nilpotent分解定理，引入三阶F-square (正面方的)张量在T-乘积下的T-DMP逆与T-CMP逆的定义，同时给出它们的若干刻画和性质.最后将三阶张量的Cayley-Hamilton定理推广到张量的T-Drazin逆与T-DMP逆上，并给出例子进行验证.

本文给出了离散单死链的可加泛函高阶矩的显式递推表达，并研究了离散单死链的多项式遍历和中心极限定理.

本文考虑了非线性微分---差分方程
$f^{n}(z)+q(z){\rm e}^{Q(z)}f^{(k)}(z+c)=p_{1}{\rm e}^{\alpha_{1}z}+p_{2}{\rm e}^{\alpha_{2}z}$
与
$f^{n}(z)+q(z){\rm e}^{Q(z)}\Delta_{c}f=p_{1}{\rm e}^{\lambda{z}}+p_{2}{\rm e}^{-\lambda{z}}$
解的增长性, 其中 $n\geq{1}$, $k\geq{1}$ 是两个整数, $q(z)$是非零多项式, $Q(z)$ 是非常数多项式.$c,\lambda,\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}$, $p_{2}$ 为非零常数,$\alpha_{1}\neq{\alpha_{2}}$. 特别地,我们展示了指数多项式满足某些特殊形式时,它们是非线性微分---差分方程的解, 这些结果是已有结果的完善和推广.

Bian和Liu在文[Algebra Colloquium，2017，24(2):297-308]中给出了$n=2$的情况下，小$q$-Schur代数的表现，即它的生成元与关系式.当$n>2$的时候，小$q$-Schur代数的表现会比较复杂.本文给出了在奇次单位根下，小$q$-Schur代数$u_k (3，3)$的表现.

在Dynkin型Ringel-Hall代数中，不可分解模同构类之间的所有拟交换关系的集合$S$构成理想$\hbox{Id}(S)$的一个极小Gröbner-Shirshov基，并且对于$S$的所有不可约元素构成Ringel-Hall代数的一个PBW基.本文把此结果推广到$G_2$-型导出Hall代数上.首先用Auslander-Reiten箭图计算不可分解模同构类之间的所有拟交换关系，然后证明这些拟交换关系之间的所有合成都是平凡的，最后给出$G_2$-型导出Hall代数的一个PBW基.

本文确定了两类Schrödinger-Virasoro型李共形代数${\rm TSV}(a，b)$和${\rm TSV}(c)$的共形双导子和自同构群.作为主要定理的推论，本文得到了李共形代数$W (a，b)$的共形双导子和自同构群.

本文利用经典的Popoviciu不等式和Orlicz--Minkowski混合体积不等式,建立了凸体的广义Orlicz等周不等式.这个新的Orlicz等周不等式在特殊情况下, 分别产生了经典的等周不等式,$L_{p}$-等周不等式和Orlicz等周不等式.

在有限可解群的群系理论中,Bryce和Cossey证明了一个重要定理:一个可解局部群系$\mathfrak{F}$是一个Fitting类的充分必要条件是$\mathfrak{F}$的典型屏$F$的函数值都是Fitting类.本文基于$\sigma$-群理论, 推广了Bryce 和 Cossey的这一重要成果,并且得到:一个$\sigma$-局部群系$\mathfrak{F}$是一个Fitting类的充分必要条件是$\sigma$-局部群系$\mathfrak{F}$的所有经典$\sigma$-局部定义函数的函数值都是Fitting类.

本文提出了计算二次特征值问题单特征三元组的二阶偏导数的单模态法. 该方法只需要用到待求二阶偏导数的特征三元组的信息; 在计算特征向量二阶偏导数时 只需求解一个线性方程组, 该线性方程组的系数矩阵的阶数为$n-1$ ($n$ 为二次特征值问题的规模), 且系数矩阵的条件数恰好为其最大与最小非零奇异值的比值. 本文给出三个例子进行了数值试验,并与已有的 Nelson 方法做了比较,数值结果表明, 精度方面,单模态法计算特征值二阶导数的精度与 Nelson 方法相当, 对某些例子计算特征向量二阶导数的精度高于 Nelson 方法; CPU 时间方面,第三个数值例子表明单模态法的 CPU 时间略低于 Nelson 方法, 后者大约是前者的 $1.2$ 倍.

本文首先引入了李超代数的弱 $c$-理想、 弱$c$-单李超代数、 弱 $c$-理想可补的概念, 然后研究了特征不为 $2$,$3$ 的基域上李超代数与弱 $c$- 理想相关的一些结构性质,给出一个李超代数是弱 $c$-单李超代数的充要条件, 并利用$\rm{Frattini}$ 理想, 给出了李超代数的一个弱$c$-理想是其理想的充分条件,同时给出其商代数的子代数有子理想补的充要条件; 最后,利用特征零基域上一类李超代数的一些弱 $c$-理想,给出了这类李超代数是可解的充分条件.

给定 $\alpha>-1$, 令$A_\alpha^2(\mathbb{B}_N)$ 表示 $N$ 维复平面 $\mathbb{C}^N$中单位开球 $\mathbb{B}_N$ 上的加权 Bergman 空间. 本文证明了在$A_\alpha^2(\mathbb{B}_N)$ 中, 乘子算子 $M_{z^n}$ 拟相似于$\bigoplus_1^{\prod_{i=1}^N n_i}M_z$, 其中$n=(n_1,n_2,\ldots,n_N)$ 为多重指标.

设$\mathscr{H}$为无穷维Hilbert复可分空间.对给定算子$A\in\mathscr{B}(\mathscr{H})$和$B\in\mathscr{B}(\mathscr{H}),$记$M_{X}:= \begin{bmatrix}\begin{smallmatrix}A& X\\0& B\end{smallmatrix}\end{bmatrix}$, 其中$X\in \mathscr{S}(\mathscr{H})$为自伴算子.本文首先给出了存在$X\in\mathscr{S}(\mathscr{H})$,使得$M_{X}$为左(右)Fredholm算子的充分必要条件. 其次, 证明了\[\begin{array}{l}\bigcap\limits_{X\in\mathscr{S}(\mathscr{H})} \sigma_{*}(M_{X})=\bigcap\limits_{X\in\mathscr{B}(\mathscr{H})}\sigma_{*}(M_{X})\cup\Delta,\end{array}\]其中$\sigma_{*}$是左(右)本质谱. 最后,刻画了Hamilton算子矩阵的左(右)本质谱的扰动.

本文研究具有有限修复时间的 $k/G:N$ 冗余系统生成的$C_0$-半群的可微性和紧性. 证明当修复时间有限时, 此$C_0$-半群是最终可微和最终紧的. 但是,对于无限的修复时间而言是不成立的.

本文研究并给出了Hardy空间上三个Hankel算子可交换的一个充分必要条件,设$f, g, u \in \bigcap_{q>1}H^{q}$ 均为非常值函数,则$H_{\bar{f}},H_{\bar{g}}$和$H_{\bar{u}}$可交换当且仅当$f, g,u$中任意两个函数的非平凡的线性组合是常数.

本文考虑完备黎曼流形上,在Bakry--Emery型Ricci曲率有下界的条件下两类抛物方程$\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta_V u+au\log u$ 和$(\Delta_V-\frac{\partial}{\partial t})u(x,t)+p(x,t)u^\beta(x,t)+q(x,t)u(x,t)=0$正解的梯度估计,这里$a,\beta\in\mathbb{R},\,\Delta_V(\cdot):=\Delta+\langle V,\nabla(\cdot)\rangle$.由于引入了$\Delta_V$,相应地,在梯度估计证明的过程中用$V$-Laplace比较定理代替Laplace比较定理.作为梯度估计的应用,导出了Harnack不等式和Liouville定理.

本文在度量测度空间中对非齐次能量泛函的拟极小元进行研究.在假设度量空间满足二重性和Poincaré,不等式的条件下,通过建立极小元的Caccioppoli不等式, 并结合De Giorgi迭代得到拟极小元的局部有界性.

指出了八元数Heisenberg群与八元数Siegel半空间的边界之间的关系,研究了八元数Siegel半空间上满足一定条件的左$\mathbb{O}$-解析函数构成的Hardy空间,并给出了其边值刻画.

利用 Faedo--Galerkin方法获得了问题弱解和强解的存在唯一性及解对初值的连续依赖性,并运用有界吸收集的存在性刻画了与问题相关的动力系统 $(X_{0}$,$S(t))$ 的耗散性. 当非线性阻尼项 $|u_{t}|^{p}u_{t}$ 中的 $p>0$ 时,证明了动力系统 $(X_{0},S(t))$ 的渐近光滑性; 而当 $p=0$时,得到了动力系统 $(X_{0},S(t))$ 的拟稳定性. 基于上面的结论,获得了具有多项式阻尼项和多项式非线性项的基尔霍夫型吊桥方程有限维全局吸引子和广义指数吸引子的存在性.本文推广和部分改进了以往的一些结果.