刘婷
本文研究如下临界高阶薛定谔方程:\[(-\Delta)^mu+V(y)u=Q(y)u^{m^*-1},\quad u>0 \ \hbox{在}\mathbb{R}^{N}{中},\ u \in\mathcal{D}^{m,2}\,(\mathbb{R}^{N}),\]其中$m^*=\frac{2N}{N-2m}$,$N\geq 4m+1$,$m \geq 2$是整数,$(y',y'')\in \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{N-2}$ 并且$V(y) =V(|y'|,y'')$和$Q(y) = Q(|y'|,y'')$ 是定义在$\mathbb{R}^{+} \times\mathbb{R}^{N-2}$上的非负有界函数.通过有穷维约化方法和局部Pohozaev恒等式,我们证明,如果$N \geq 4m+1$,函数$Q(r,y'')$有一个临界点$(r_0,y_0'')$满足$r_0 >0$,$Q(r_0,y_0'') >0$,$ D^{\alpha}Q(r_0,y_0'')=0,$ $|\alpha| \leq 2m-1$并且 ${\rm deg} (\nabla(Q(r,y'')),(r_0,y_0''))$ $\neq 0$,并且$\frac{1}{(2m-1)!m^*}\sum_{|\alpha|=2m}D^{\alpha}Q(r_0,y_0'')\int_{\mathbb{R}^N}y^{\alpha}U_{0,1}^{m^*}$ $ -m V(r_0,y_0'')\int_{\mathbb{R}^{N}} U_{0,1}^2$ $< 0$,那么,上述问题有无穷多解,并且它的能量可以任意大. 不同于文献 [Commun. Contemp. Math.,2022,24: Paper No. 2050071],在我们的情况中,$Q(r_0,y_0'')$的高阶导数项在bubble解的构造中起了关键的作用. 此外,可以看到位势$V(r_0,y_0'') $会影响$Q(r_0,y_0'')$高阶导数的符号.
