盛为民, 薛珂
本文研究了欧氏空间$\mathbb{R}^{n+1}$中光滑的闭的$(\eta,k)$-凸超曲面的一类扩张流,扩张速度为$fu^{\alpha}\rho^{\delta}\sigma_k^{-\frac{\beta}{k}}(\lambda (\eta))$,其中$f$是$\mathbb{S}^n$上的光滑函数,$u,\rho$分别是超曲面的支撑函数和径向函数,$\alpha,\delta\in\mathbb{R}^1$,$\beta>0$,$1\leq k\leq n$,$\eta=Hg-h$为超曲面的第二基本形式$h$关于诱导度量$g$的第一牛顿变换,$\lambda (\eta)$为$g^{-1}\eta$的特征值.当$f=1$,$\alpha+\delta+\beta\leq 1$时,我们证明了经过伸缩变化之后的曲率流以指数速率光滑收敛到一个以原点为中心的球面.对于一般的函数$f$,当$\alpha+\delta+\beta< 1$时,我们证明了该曲率流的光滑解长时间存在唯一性,并证明曲率流经过适当的伸缩变换之后光滑收敛到方程$fu^{\alpha-1}\rho^{\delta}\sigma_k^{-\frac{\beta}{k}}(\lambda (\eta))=\gamma$的唯一的光滑解.最后,我们考虑了一个更一般的曲率流，对一类Hessian商方程解的存在性给了一个新的证明.
