设$T\in\mathcal{B （H）}$是Hilbert空间$\mathcal{H}$上的有界线性算子，本文研究了算子投影对$（P，Q）$和复数对$（\alpha，\beta）$的广义投影束$T=P+\alpha Q+\beta PQ$的性质.用投影算子的Halmos分解定理，得到了算子$T$为广义投影束的一些等价条件，给出了广义投影束$T$的谱性质，证明了广义投影束$T$在一定条件下与对角算子相似的性质，建立起广义投影束$T$的谱跟投影$P$和$Q$的谱之间的关系.最后，讨论了广义投影束$T$为特殊算子类，例如Fredholm算子、紧算子、自伴算子的充要条件，并给出了算子$T$关于幂等对的广义投影束的几个性质.

本文主要考虑具有拟周期外力项和可乘白噪声的二阶格点系统在无穷序列加权空间中的随机一致指数吸引子的存在性.首先给出无穷序列加权空间的积空间上的联合连续随机动力系统的随机一致指数吸引子存在的充分条件.其次利用Ornstein-Uhlenbeck过程，构造一个可逆变量代换将有白噪声的随机二阶格点系统（SDE）转化为无白噪声的随机二阶格点系统（RDE），证明RDE系统的解可以定义一个联合连续的随机动力系统.然后证明该联合连续随机动力系统的Lipschitz连续性，分解系统的两解之差为两个部分的和，并估计一些随机变量的期望.最后得到了所考虑系统的随机一致指数吸引子的存在性.

本文研究一类新颖的动态单指标变系数分位数回归模型，该模型反映了响应变量与解释变量之间的动态交互效应，并包含许多重要的模型为特例.为提高模型的可解释性和估计的精确度，讨论了模型的半变系数结构.首先，基于B样条方法得到变系数函数和指标函数的估计，采用惩罚函数方法识别模型的半变系数结构，提出了该半参数模型的估计方法.其次，建立了各估计量的相合性和渐近正态性，并且参数估计量和非参数估计量均可达到最优收敛速度.数值模拟表明本文所提出的模型和估计方法具有优良的性质.最后，分析一组NO$_2$数据以展示所提方法在实际应用的表现.

本文研究具有Neumann边界条件的Schrödinger算子逆传输特征值问题的稳定性.当$\int_0^1q （t） dt=0$且$q （1）\neq 0$时，存在无穷多个实传输特征值.本文在此条件下，运用变换算子理论和Riesz基相关性质，根据谱数据之差给出弱意义和$W_2^1$范数意义下两势函数差的估计，这些估计蕴含了逆谱稳定性.

设$Y$为实Banach空间，$\varepsilon\geq 0$，映射$f：c_0\rightarrow Y$为标准的$\varepsilon$-范数可加映射，即$f （0）=0$，且$\big|\|f （x）+f （y）\|-\|x+y\|\big|\leq\varepsilon，\forall x，y \in c_0.$本文证明对给定的$\delta>0$，若$f$为$\delta$-满射，则存在一个线性满等距$U：c_0\rightarrow Y$，使得$\|f （x）-U （x）\|\leq\frac{3}{2}\varepsilon，\forall x \in c_0.$其中，常数$\frac{3}{2}$是最优的.

李代数$（L，[\cdot]）$上的一个Hom-结构是满足下面条件的线性映射$\varphi：L\rightarrow L，$$[[x，y]，\varphi （z）]+[[z，x]，\varphi （y）]+[[y，z]，\varphi （x）]=0，$对任意的$x，y，z\in L.$进一步，如果$\varphi$是$L$的自同构（或导子），称$\varphi$为正则Hom-李结构（或导子双李代数Hom-结构）.$n$-th Schrödinger代数是指单李代数$\mathfrak{sl}_{2}$和$n$-th Heisenberg李代数$\mathfrak{h}_{n}$的半直积.本文证明$n$-th Schrödinger代数的任意的Hom-结构一定是数乘映射与中心Hom-结构的和.进一步推出正则Hom-李代数结构一定是恒等映射，导子双李代数Hom-结构是零映射.

给出Boccardo和Orsina一个技术引理的推广，并给出其在能量空间中非强制积分泛函极小的正则性中的应用.

本文在一致凸Banach空间中研究了多重分裂可行性问题.通过将其转化为不动点问题，我们分别构造了并行与循环两种类型的迭代方法以求解此问题，并在较弱的几何条件下证明了它们的强收敛性.

曲率积分不等式在几何不等式中有着举足轻重的地位.本文一方面运用傅里叶分析方法得到了一个关于周期函数的积分不等式，进而获得平面上著名的Ros不等式的加强形式.另一方面运用获得的引理，结合Green-Osher不等式与Steiner多项式，得到平面凸曲线的高次幂的曲率积分不等式.这些不等式在欧氏平面上为著名的Green-Osher不等式的改进形式.

设$\alpha_{2}（D）=\max\{|X|：X\subseteq V （D）$且$D[X]$不含有向2-圈$\!\!\}$是有向图$D$的$\alpha_{2}（D）$-独立数.在文献[$Proc.London Math.Soc.$，42（1981）231-251]中，Thomassen构造了满足$\kappa （D）=\alpha （D）$的非哈密尔顿有向图$D$，以此证明Chvátal-Erdös定理在有向图情形下不能得到自然推广.Bang-Jensen和Thomassé提出如下猜想：每一个满足弧强连通度大于等于其独立数的有向图一定包含生成闭迹.对于满足弧强连通度大于等于其$\alpha_{2}（D）$-独立数的有向图是否包含生成迹这一问题，目前仍未解决.如果对于$D$中的任意两个顶点$x$和$y$，$D$包含生成$（x，y）$-迹，或者生成$（y，x）$-迹，则称有向图$D$是弱迹连通的.如果对于$D$中的任意两个顶点$x$和$y$，$D$既包含生成$（x，y）$-迹又包含生成$（y，x）$-迹，则称$D$是强迹连通的.本文在确定两个强连通有向图类$\mathcal{M}$和$\mathcal{H}$的基础上，研究了在满足$\alpha_{2}（D）=2$条件下，有向图$D$的相关结果，并得到以下结论：（i）$D$是哈密尔顿的当且仅当$D\not\in\mathcal{M}$.（ii）$D$是弱迹连通的.（iii）$D$是强迹连通的当且仅当$D\not\in\mathcal{H}$.特别地，每一个满足$\alpha_{2}（D）=2$的强连通有向图$D$包含哈密尔顿路，并且每一个满足$\alpha_{2}（D）=2$的2-强连通有向图$D$是强迹连通的.

Hilbert空间及其张量理论是多体量子系统的数学框架.多体系统量子纠缠的无损解耦问题是当前量子信息与计算理论的前沿课题之一.这一课题主要研究的是在何种条件下多体纠缠是可以被无损解耦的，目前已知的无损解耦条件是在三量子比特系统情形获得的.本文主要是推广以上纠缠无损解耦结论于更一般的三体系统，证明了对于某些满足特定条件的$2\otimes2\otimes3$和$2\otimes2\otimes4$系统上的纯态，可以实现无损解耦.

本文主要研究了Fock空间$F^p$到$F^q$$（0<p， q\leq\infty）$上的广义积分复合算子.首先刻画了两个广义积分复合算子差分的有界性和紧性，之后估计了差分的本性范数.另外，本文研究了广义积分复合算子空间的道路连通子集.

本文进一步发展Coxeter系统$（W，S）$中的$W$-图理想理论，主要研究与$W$-图理想相应的Hecke代数上模的结构系数及典范基元素的直接迭代算法.当计算特定典范基元素时，该算法相比标准递推算法具有计算快速节省内存的优势.由于$W$-图理想概念的广义性，本文的结果也是一些经典情形的推广.

设$k\in\{5， 6\}，\eta$是任意给定的实数，$\lambda_1，\lambda_2，\ldots，\lambda_7$是不全同号的非零实数且$\lambda_1/\lambda_2$是无理数.证明了：当$0<\sigma<\frac{1}{12（k-3）}$时，不等式$|\lambda_1x_1^2+\lambda_2x_2^3+\lambda_3x_3^3+\lambda_4x_4^3+\lambda_5x_5^3+\lambda_6x_6^4+\lambda_7x_7^k+\eta|<（\max_{1\leq j\leq 7}x_j）^{-\sigma}$有无穷多组正整数解$x_1，x_2，\ldots，x_7$.这改进了李伟平与龚克的结果.

有限域上射影码在组合设计和强正则图中有重要应用.本文首先构造一类二元线性码并在四种情形下研究其参数和重量分布，结果表明这类线性码是射影码且在两种情形下是最优码，它们的对偶码关于球填充界最优或几乎最优；然后利用这些射影码构造$t$-设计和强正则图.

有限域上多项式的零点计数问题是算术代数几何的核心问题之一,本文考虑有限域$\mathbb{F}$_q上完全对称多项式的零点问题.主要结果如下:设$h(x_1,\ldots,x_k)$是有限域$\mathbb{F}$_q上一个$m$次完全对称多项式($k\geq 3, \, 1\leq m\leq q-2$):
(1) 若$q$为奇数, 则$h(x_1,\ldots, x_k)$在$\mathbb{F}$_q^k中至少有$\frac{\lceil \frac{q-1}{m+1}\rceil}{q-\lceil \frac{q-1}{m+1}\rceil}(q-m-1)q^{k-2}$个零点;
(2) 若$q$为偶数, 且$k\geq 4$, 则$h(x_1,\ldots, x_k)$在$\mathbb{F}$_q^k中至少有$\frac{\lceil \frac{q-1}{m+1}\rceil}{q-\lceil \frac{q-1}{m+1}\rceil}(q-\frac{m+1}{2})(q-1)q^{k-3}$个零点.
注意到, 当$m$比较小的时候,上述新的下界改进了已有下界[4,定理1.4]和[3,定理1.2](见本文结论 1.1和1.2)大约$\frac{q^2}{6m}$倍.

孙智伟教授猜测: 对于每个奇素数 $p>100,$可要求勾股方程$x^2+y^2=z^2$的解$x,y,z\in[1,p]$,且分别为模$p$的二次剩余或者二次非剩余(共八种情形).对于所有充分大的素数$p,$ 本文证明了这一猜测,其方法主要涉及Lillian B.Pierce和Junyan Xu所证明的关于多元高次型的特征和的Burgess界.

本文具体地计算了有理数域上的四元数Shimura曲线上的Kodaira—Spencer映射以及它在Hodge丛的度量上的影响.前者用到的主要工具是模空间和形变理论,后者用到的主要工具是复阿贝尔簇的理论.

Faltings 提出了 Simpson 关于射影复流形上 Higgs丛与基本群有限维 $\mathbb{C}$-表示之间对应关系的 $p$ 进类比. 在本文中, 我们将概述这一工作以及相关的关于 $p$ 进曲线的基本群有限维 $p$ 进表示的研究. 在最后一节, 我们将简要地讨论一些相关工作.

本文证明了有正比例的正整数,它们表成斐波那契数与素数之和的表法数恰好为 $1$. 我们也研究了形如$p+a_k$ 的正整数, 其中 $p$ 为素数, $\{ a_k\}$是满足一定条件的指数型整数列.

本文将证明: 对于最大指数严格小于 $1/22$ 的表示,存在具有正则支的三线性 $\zeta$ 积分测试函数.

本文研究了一些行列式与积和式. 特别地, 我们探讨了新型行列式\normalsize $$\det [(i^2+cij+dj^2)^{p-2}]_{0 ≤ i,j ≤ p-1}{与}det [(i^2+cij+dj^2)^{p-2}]_{1 ≤ i,j ≤ p-1}$$模奇素数$p$, 其中$c$与$d$为整数.我们也提出一些猜想以供进一步的研究.

Demazure乘积是定义在一般Coxeter群上的一类幺半群乘积. 它自然地出现在李理论中的不同领域中. 本文将研究仿射Weyl群上Demazur乘积. 我们的主要结果是发现了它与有限Weyl群上的量子Bruhat图之间的一个紧密联系. 作为应用, 我们给出了仿射Weyl群最低双边胞腔元素之间Demazure乘积的显示表达式, 并得到了最低双边胞腔元素的一般牛顿点以及Lusztig-Vogan映射的具体刻画.

本文介绍实酉群表示限制问题的一些新进展.特别地,我们简单说明实酉群 Gan—Gross—Prasad猜想的证明思路.

本文通过一系列具体的实例展示对称幺半范畴中对偶和迹的重要作用,并介绍其在平展上同调中的新应用——万有局部零调性的刻画和相对Lefschetz—Verdier迹公式.

本文介绍 Vandiver 猜想与相关研究结果; 我们证明$A_2=A_4=\cdots=A_{32}=0,$ 这里$A$ 是$\mathbb Q(\zeta_p)$的理想类群的 $p$-Sylow子群; 我们提出一个关于非正则素数分布的猜想,给出数值验算.

Manin 猜想预测了代数簇上的有理点分布规律. 对给定的整系数本原正定二次型$Q$,方程$x^3=Q(\boldsymbol{y})z$ 表示一类奇异三次超曲面.本文主要介绍这类曲面上的Manin 猜想, 并概述其研究方法及相关结果. 在最后一节,介绍几个推广结果.

本文是一篇关于棱镜上同调理论发展的论文综述. 我们将从经典的$p$-进制Hodge理论开始, 简要地综述棱镜上同调理论的起源和基本结果. 我们将重点介绍棱镜晶体层的概念, 它们的上同调基本性质, 以及它们与经典的晶体上同调的关系.

本文是模$p$朗兰兹纲领的一篇概述,主要介绍GL₂情形下模$p$朗兰兹纲领的发展历程以及一些最新进展.

我们把Brauer—Manin障碍下的中心强逼近定义在任意奇异簇上.然后我们通过给出具体的爆破来证明由一个多项式等于一个迷向二元二次型定义的代数簇满足Brauer—Manin障碍下的中心强逼近.这就完成了Watson关于上述丢番图方程的结论的推广.

本文通过 $\mathrm{L}$-函数的整体积分幂矩, 来推导某些自守$\mathrm{L}$-函数集合的整体零点密度的上界估计. 具体而言, 假设 $I$是某些自守表示 $\pi$ 构成的集合, 对任意 $\pi$ 有非负系数 $c(\pi)$且级数 $\sum_{\pi\in I}c(\pi)$ 收敛. 假设\begin{equation*}\sum_{\pi\in I} c(\pi) \int_T^{T+T^\alpha} \bigg|\mathrm{L}\bigg(\frac12+{\rm i}t,\pi\bigg) \bigg|^{2\ell} dt\ll_\varepsilon T^{\theta+\varepsilon} \sum_{\pi\in I} c(\pi),\end{equation*}其中 $\ell\geq1$, $0<\alpha\leq1$, $\theta\geq\alpha$.则可以得到整体零点密度\begin{equation*}\sum_{\pi\in I}c(\pi)N_\pi(\sigma,T,T+T^\alpha)\end{equation*}的上界估计, 这里 $N_\pi(\sigma,T_1,T_2)$ 表示满足 $\sigma<\beta<1$及 $T_1\leq\gamma\leq T_2$ 的 $\mathrm{L}(s,\pi)$ 的零点$\rho=\beta+{\rm i}\gamma$ 的个数.