万大庆, 张俊
有限域上多项式的零点计数问题是算术代数几何的核心问题之一,本文考虑有限域$\mathbb{F}$q上完全对称多项式的零点问题.主要结果如下:设$h(x_1,\ldots,x_k)$是有限域$\mathbb{F}$q上一个$m$次完全对称多项式($k\geq 3, \, 1\leq m\leq q-2$):
(1) 若$q$为奇数, 则$h(x_1,\ldots, x_k)$在$\mathbb{F}$qk中至少有$\frac{\lceil \frac{q-1}{m+1}\rceil}{q-\lceil \frac{q-1}{m+1}\rceil}(q-m-1)q^{k-2}$个零点;
(2) 若$q$为偶数, 且$k\geq 4$, 则$h(x_1,\ldots, x_k)$在$\mathbb{F}$qk中至少有$\frac{\lceil \frac{q-1}{m+1}\rceil}{q-\lceil \frac{q-1}{m+1}\rceil}(q-\frac{m+1}{2})(q-1)q^{k-3}$个零点.
注意到, 当$m$比较小的时候,上述新的下界改进了已有下界[4,定理1.4]和[3,定理1.2](见本文结论 1.1和1.2)大约$\frac{q^2}{6m}$倍.
