2023年, 第66卷, 第1期　刊出日期：2023-01-15

  

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  广义椭圆型Sitnikov(N+1)体问题的混沌动力学研究

  程旭华, 王涌泉

  数学学报. 2023, 66(1): 1-14. https://doi.org/10.12386/A20210070

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  本文研究了广义椭圆型 Sitnikov (N+1)体问题中存在的混沌行为. 首先, 在可积哈密顿系统扰动理论的基础上,把广义的椭圆型 Sitnikov (N+1) 体 问题看作是广义圆型 Sitnikov(N+1) 体 问题的扰动; 其次, 通过计算 Melnikov积分函数存在简单零点, 证明了广义椭圆型Sitnikov (N+1) 体问题中存在横截同宿轨道. 然而, 由于平衡点的退化性导致了标准的Smale-Birkhoff 定理不能直接用来证明系统中存在 Smale 马蹄. 因此,本文在非线性 Poincaré 映射的基础上定义可逆映射f, 通过证明f是一个Smale马蹄映射, 解析地证明了广义椭圆型 Sitnikov (N+1)体 问题中存在 Smale马蹄意义下的混沌行为.
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  圈梯形图序列的嵌入

  孙倩华, 陈仪朝

  数学学报. 2023, 66(1): 15-46. https://doi.org/10.12386/A20210108

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  本文主要研究确定圈梯形图序列和莫比乌斯梯形图序列(由梯形图类生成的图)的亏格分布.首先利用运算矩阵讨论梯形图类的亏格分布, 然后利用加边规则,在梯形图类上加边, 得到圈梯形图序列或莫比乌斯梯形图序列,进而得到圈梯形图序列(莫比乌斯梯形图序列)的亏格分布. 另外,还验证了经典梯图亏格分布的渐近正态性.
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  乘法噪声驱动的二维不可压缩MHD方程的一致大偏差

  马进

  数学学报. 2023, 66(1): 47-66. https://doi.org/10.12386/A20210065

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  本文证明由乘法噪声驱动的二维不可压缩Magneto-hydrodynamics (MHD)方程的温和解满足Freidlin-Wentzell型一致大偏差原理, 主要基于Budhiraja, Dupuis和Salins关于无穷维可分Banach空间值随机微分方程的温和解满足一致大偏差原理的一般准则.
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  基于Hayman猜想的复延滞微分多项式的零点研究

  高迎春, 刘凯

  数学学报. 2023, 66(1): 67-74. https://doi.org/10.12386/A20210079

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  基于复微分多项式零点问题的 Hayman 猜想, 利用Yamanoi 给出的亚纯函数高阶导函数的零点估计,得到了复延滞微分多项式零点的进一步结果.如果f(z)是一个超级小于1的超越亚纯函数, 当q≥p+s+t+1时,[Q(f)P(f(z+c))]^(k)-a有无穷多个零点, 其中a是一个非零常数,P(z)为有t个判别零点的p次多项式,Q(z)为有s个判别零点的q次多项式. 我们的结果改进了由Nevanlinna第二基本定理作为主要工具得到的结果.
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  非凸不可分优化线性近似Bregman型Peaceman-Rachford 分裂算法

  刘鹏杰, 简金宝, 马国栋, 许佳伟

  数学学报. 2023, 66(1): 75-94. https://doi.org/10.12386/A20210081

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  基于 Peaceman-Rachford 分裂算法,结合线性近似技术和 Bregman 距离, 本文提出一种线性近似 Bregman 型Peaceman-Rachford 分裂算法,用于求解目标函数带不可分结构的线性约束非凸优化问题. 在常规假设下,得到算法的全局收敛性. 在效益函数满足 Kurdyka-Ƚojasiewicz性质前提下, 论证算法的强收敛性. 当 Kurdyka-Ƚojasiewicz性质关联函数为特殊结构时, 分析并获得算法的收敛率结果. 最后,初步数值试验说明算法有数值有效性.
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  n-Cycle置换的进一步研究

  张志林, 袁平之

  数学学报. 2023, 66(1): 95-104. https://doi.org/10.12386/A20210088

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  作为陈、王、朱近期工作的延伸,我们将继续讨论型为x^rh(x^s)的n-cycle置换. 另外,基于一些细致的讨论研究, 我们还将给出四个有意思的问题.
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  分数阶临界薛定谔方程解的存在性和多重性

  商彦英, 王玉婷

  数学学报. 2023, 66(1): 105-124. https://doi.org/10.12386/B20210004

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  本文利用Ekeland变分原理和Nehari流形方法,研究了一类带有Hardy位势和Hardy-Sobolev临界指数的分数阶薛定谔方程,证明了解的存在性和多重性.
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  自相似集的球密度性质

  朱智伟

  数学学报. 2023, 66(1): 125-132. https://doi.org/10.12386/A20200054

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  本文讨论利用上、下球密度计算自相似集的Hausdorff中心测度与填充测度的问题. 设$E$是满足强分离条件的自相似集, $s$为其Hausdorff维数, $\mu$为定义于$E$上的自相似测度, 则有如下结论:\ (1) 如果存在$ x_0 \in E$, 使得$x_0$关于$\mu$的上球密度$\overline{D}^s(\mu,x_0)=\overline{d}$, 则对$\mu$- 几乎所有$x \in E$, 有 $\overline{D}^s(\mu,x) \ge \overline{d}$; (2) 如果存在$ y_0 \in E$, 使得$y_0$关于$\mu$的下球密度$\underline{D}^s(\mu,y_0)=\underline{d}$, 则对$\mu$- 几乎所有$y \in E$, 有 $\underline{D}^s(\mu,y) \le \underline{d}$. 运用这一结论, 对自相似集的测度计算问题进行了讨论.
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  关于Pell方程组x²-(m²-1)y²=z²-(n²-1)y²=1

  管训贵

  数学学报. 2023, 66(1): 133-142. https://doi.org/10.12386/A20210003

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  设$m,n,L$为正整数,本文证明了:如果m<n≤m+Lm^ε, ε∈(0,1),且m>(123789L√L)1/1-ε,或j>10.25×10¹²log⁴(2(L+1)(123789L√L)1/1-ε,则Pell方程组$x^{2}-(m^{2}-1)y^{2}=z^{2}-(n^{2}-1)y^{2}=1$ 的正整数解满足$1≤k\leq\delta L^{2}$,这里$\delta\in[\frac{1}{2}(123787L\sqrt{L})^{\frac{1}{\varepsilon-1}},1]$,以及$$y=\frac{(m+\sqrt{m^{2}{-}1})^{j}{-}(m{-}\sqrt{m^{2}{-}1})^{j}}{2\sqrt{m^{2}{-}1}}=\frac{(n{+}\sqrt{n^{2}{-}1})^{k}{-}(n{-}\sqrt{n^{2}{-}1})^{k}}{2\sqrt{n^{2}{-}1}},$$且$j=k=1$或$k+2\leq j<\frac{1}{3}(5-2\varepsilon)k$,$2\,|\,(j+k)$, $k>\frac{3}{1-\varepsilon}$,并改进了文[Proc. Amer.Math. Soc., 2015, {\bf 143}(11): 4685-4693]的结果.
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  在R上取值树指标马氏链的等价性质

  丁承军, 景颖, 杨卫国

  数学学报. 2023, 66(1): 143-148. https://doi.org/10.12386/A20210010

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  本文参照Benjamini和Peres的离散状态树指标马氏链的定义,给出在R上取值树指标马氏链的定义, 并给出其若干等价性质.
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  单位球$\mathscr {B}^{n}$上复数$\lambda$阶的$g$-星形映射

  胡春英, 刘太顺, 王建飞

  数学学报. 2023, 66(1): 149-160. https://doi.org/10.12386/A20210029

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  本文引入单位球$\mathscr {B}^{n}\subset \mathbb{C}^{n}$上复数$\lambda$阶的$g$-星形映射族, 统一了复数$\lambda$阶的殆星映射和$g$-星形映射. 应用Loewner链方法,建立了该映射族的增长定理, 给出了$k$次齐次多项式 $P_{k}$的数量特征, 证明了$\mathscr {B}^{n}$ 上扰动的 Roper-Suffridge算子$\Phi_{P_{k}}(f)(z)=(f(z_{1})+P_{k}(z_{0})f'(z_{1}),[{f'(z_{1})}]^\frac{1}{k}z_{0})^\mathsf{T}$保持复数$\lambda$阶的$g$-星形性. 本文结果不仅推广了$\mathscr{B}^{n}$上不同星形映射子族的增长定理, 而且给出了扰动项$P_{k}$更为简洁的几何特征.
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  Sierpinski地毯S_p的共形维数的估计

  党云贵, 代玉霞, 文胜友

  数学学报. 2023, 66(1): 161-172. https://doi.org/10.12386/A20210099

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  本文证明了当$p\geq3$为奇数时,Sierpinski地毯$S_{p}$的共形维数 $1{+}\frac{\log (p{-}1)}{logp}\!\leq\dim_{C}S_{p}\leq \frac{\log((p^{2}-1)^{4}-8)}{4\log p}.$这意味着Sierpinski地毯$S_{p}$都不是拟对称极小集.
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  有限域上一类复合对合多项式的存在性

  张召辉, 廖群英

  数学学报. 2023, 66(1): 173-180. https://doi.org/10.12386/A20210115

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  本文作者在 2021年给出了有限域上两个对合多项式的复合多项式也是对合多项式的充要条件.由于对合多项式是一类特殊的置换多项式, 本文基于多项式的不动点集合与非不动点集合的关系, 得到 $\mathbb{F}_q$ 上对合多项式与置换多项式复合后也是对合的充要条件.
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  Toeplitz算子的特征值和特征向量

  丁宣浩, 侯林, 李永宁

  数学学报. 2023, 66(1): 181-186. https://doi.org/10.12386/A20210121

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  记$L^{2}$为单位圆周$\mathbb{T}$上的Lebesgue平方可积函数全体.定义Hardy空间$H^{2}$是 $L^{2}$中的解析多项式所张成的闭子空间.对于复平面中的单位开圆盘$\mathbb{D}$中的任一点$z$,函数$K_{z}(w)=\frac{1}{1-\bar{z}w}$是$H^2$中的再生核函数.对任意的$f \in \overline{H^2}$, 众所周知$T_{f}K_{z}=f(z)K_{z}$,即$K_{z}$是$T_{f}$的属于特征值$f(z)$的特征向量. 反过来,若存在$z\in \mathbb{D}$ (或对每一个$z\in \mathbb{D}$),使得$K_{z}$是$T_{f}$的特征向量, 是否必有$f\in \overline{H^{\infty}}$?针对这些问题,本文给出了以再生核$K_{z}$为特征向量的Toeplitz算子以及有界线性算子的完全刻画,还给出了以所有的$f(z)\ (z\in\mathbb{D})$为特征值的Toeplitz算子的部分刻画.
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  两类整环上的上三角矩阵群(I)

  刘合国, 赵静

  数学学报. 2023, 66(1): 187-198. https://doi.org/10.12386/A20220038

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  本文从两类整环上的二阶上三角矩阵入手, 构造了两个 $3$元生成的亚Abel群, 给出了它们的清晰结构, 研究了它们的剩余有限性质: 一, 证明了其中一个无限秩的亚Abel群是剩余有限 $p$-群, 这里 $p$ 是任意素数. 二, 证明了另一个有限秩的亚Abel群没有这种整齐的剩余有限性质, 尽管其结构要简单得多. 本文的结果表明, 无限可解群里秩的有限性条件对群的剩余有限性具有很大的影响. 如何把本文的研究推广到高阶矩阵群, 是值得进一步 探索的问题.