王晓丽, 阿拉坦仓
本文研究了 Banach 空间中上三角算子矩阵$M_{C}=\binom{A \ C}{ 0 \ B}\in L(X\oplus Y)$ 的局部谱性质, 其中$A\in L(X)$, $B\in L(Y)$, $C\in L(Y,X)$, $X,Y$ 是无穷维复 Banach空间, $L(X,Y)$ 表示 $X$ 到 $Y$ 的所有有界线性算子. 首先考察了$M_{C}$ 的单值扩张性, 借助于向量值解析函数和解析核等工具给出了集合$\mathcal{S}(M_{C})=\{\lambda \in \mathbb{C}: M_{C}\ \mbox{在}\ \lambda\ \mbox{没有单值扩张性}\}$ 的刻画, 并得到对任意 $C \in L(Y,X)$ 等式 $\mathcal{S}(M_{C})=\mathcal{S}(A)\cup\mathcal{S}(B)$都成立的条件. 进一步, 研究了 $M_{C}$ 的单值扩张性扰动,得到了对于给定 $A\in L(X),\, B\in L(Y)$, 等式$\mathcal{S}(M_{C})=\mathcal{S}(A)\cup\mathcal{S}(B)$ 成立时 $C$所需的条件. 同时, 举例说明了这些条件的合理性. 最后,把所得结果运用到上三角算子矩阵的谱和局部谱上, 得到了$\sigma(M_{C})=\sigma(A)\cup\sigma(B)$ 和 $\sigma_{M_{C}}(x\oplus0)=\sigma_{A}(x)$ 成立的条件, 并给出了 $M_{C}$局部谱子空间的一个刻画.
