2022年, 第65卷, 第2期　刊出日期：2022-03-15

  

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  高频超声中带退化记忆项的MGT方程解的衰减估计

  刘文军, 涂智瑜, 王丹华

  数学学报. 2022, 65(2): 205-220.

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  研究了高频超声应用中带无穷退化记忆项的Moore-Gibson-Thompson方程
  $\tau u_{ttt}+\alpha (x) u_{tt}-c^{2}\Delta u-b\Delta u_{t}+\displaystyle\int_{0}^{\infty}g (s)\text{div}[a (x)\nabla u (t-s)]{d}s=0$
  解的适定性和衰减速率,其中非负函数$a (x)$和$\alpha (x)$是可退化的并满足$a (x)+\alpha (x)\geq\delta >0$.该系统是由黏性热松弛流体中波传播模型的线性化而得到的.通过使用Faedo-Galerkin逼近和能量估计,证明了解的适定性.在适当的假设下,通过构造适当的李雅普诺夫泛函,建立了能量的指数或一般衰减结果.
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  某些特定非线性时滞微分方程的问题

  刘曼莉, 扈培础, 李植, 王琼燕

  数学学报. 2022, 65(2): 221-234.

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  我们证明了若如下具有有理系数$a (z),a_i (z),b_j (z)$的时滞微分方程
  $\left[w (z+1) w (z)-1\right]\left[w (z) w (z-1)-1\right]+a (z)\dfrac{w'(z)}{w (z)}=\dfrac{\sum_{i=0}^pa_i (z) w^i}{\sum_{j=0}^qb_j (z) w^j}$
  存在有限多个极点的超越亚纯函数解$w$且其超级小于$1$,则方程退化为一类形式更为简单的方程,改进了Liu和Song的结论.进一步,我们也研究了一类Tumura-Clunie型的时滞微分方程,并得到了其超越亚纯解的一些性质.
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  有限型的首次返回例外集的测度和维数

  危纯, 娄曼丽

  数学学报. 2022, 65(2): 235-242.

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  设$M=(m_{ij})$是一个$b\times b$阶矩阵且$m_{ij}\in\{0,1\}$,$\Sigma_M$是矩阵$M=(m_{ij})$诱导产生的有限型,$\sigma$是其上左推移算子.本文主要研究的是有限型动力系统$(\Sigma_M,\sigma)$上的首次返回速度问题.令$\tau_k (x)$是点$x\in\Sigma_M$首次返回到包含$x$的$k$阶柱集时间,且
  $E_{\alpha,\beta}=\Big\{x\in\Sigma_M: \liminf_{k\rightarrow\infty}\frac{\log \tau_k(x)}{k}=\alpha,\, \limsup_{k\rightarrow\infty}\frac{\log \tau_k(x)}{k}=\beta\Big\}.$
  我们证明了:当$M$是不可约矩阵时,对任意$0\leq\alpha\leq\beta\leq+\infty$,集合$E_{\alpha,\beta}$的Markov测度要么等于0要么等于1并且具有满的Hausdorff维数.
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  组稀疏优化问题精确连续Capped-$L_1$松弛

  彭定涛, 唐琦, 张弦

  数学学报. 2022, 65(2): 243-262.

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  本文主要研究损失函数为凸函数且带有约束的组稀疏正则回归问题及组稀疏正则项的精确连续Capped-$L_1$松弛问题.首先对组Capped-$L_1$松弛问题定义了三类稳定点:D (irectional)-稳定点、C (ritical)-稳定点、L (ifted)-稳定点,然后刻画了这三类稳定点之间的关系.进一步,给出了组Capped-$L_1$松弛问题和原始组稀疏正则问题的最优性条件,并从全局解和局部解角度讨论了松弛问题和原问题解的等价关系.
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  非齐次算子方程的势分歧定理及其应用

  代国伟, 马如云

  数学学报. 2022, 65(2): 263-274.

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  本文研究了算子方程$\lambda (f_1'(x)+f_2'(x))=g_1'(x)+g_2'(x)$的分歧现象.假设$f_2'\equiv0$,$f_1$和$g_1$是$a$-齐次的,及其他合适条件,Fučík等人证明$\lambda f_1'(x)=g_1'(x)$的每一个LS-特征值都是上述算子方程的分歧点.这里我们研究非齐次情形$f_1+f_2$.当$f_1$,$f_2$,$g_1$和$g_2$满足合适条件时,我们获得了和Fučík等人相同的结论.作为预备,我们获得了一个新的Lyusternik-Shnirel'man定理.作为抽象定理的应用,我们研究了一个非局部椭圆问题从任意LS-特征值产生的分歧现象.
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  ${\rm GL}(2)\!$上自守$L$-函数的零点间隔

  唐恒才

  数学学报. 2022, 65(2): 275-286.

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  设$f (z)$是全模群$SL_2(\mathbb{Z})$上权为$k$的Hecke特征形式,$L (s,f)$为其对应的自守$L$-函数.利用此$L$-函数带有光滑化算子的二次积分均值,本文证明了$L (s,f)$在临界线上存在无穷多对零点,其间隔大于平均距离的$1.88$倍.
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  完全二阶常微分方程的奇周期解

  李永祥, 张丽娟

  数学学报. 2022, 65(2): 287-300.

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  本文讨论完全形式的二阶常微分方程
  $-u''(t)=f (t,u (t),u'(t)),\\t\in\mathbb{R}$
  周期解的存在性,其中$f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}$连续,$f (t,x,y)$关于$t$以$2\pi$为周期.我们在非线性项$f$满足一些精准的不等式条件下,获得了方程奇$2\pi$-周期解的一些存在性结果.这些不等式条件允许$f (t,x,y)$当$|(x,y)|\to 0$及$|(x,y)|\to\infty$时关于$(x,y)$可以超线性或次线性增长.
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  具有性质$\Gamma$的有限von Neumann代数的交叉积

  钱文华, 沈隽皓

  数学学报. 2022, 65(2): 301-308.

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  令$\mathscr M$为可分的II$_1$型von Neumann代数.我们证明了,如果$\mathscr M$具有性质$\Gamma$,$G$为可数顺从群且$\alpha$是$G$在$\mathscr M$上保迹的真外作用,则交叉积$\mathscr M\rtimes_{\alpha}G$为具有性质$\Gamma$的II$_1$型von Neumann代数.
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  拟微分算子交换子的端点估计

  邓宇龙, 龙顺潮

  数学学报. 2022, 65(2): 309-316.

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  本文给出了象征属于Hörmander类$S^{m}_{\rho,\delta}(\mathbb R^{n})$的拟微分算子$T$的交换子$[b,T]$从$H^{1}(\mathbb R^{n})$到弱$L^{1}(\mathbb R^{n})$以及$H_{b}^{1}(\mathbb R^{n})$到$L^{p}(\mathbb R^{n})$的有界性估计,其中$b\in{\rm BMO}(\mathbb R^{n})$.
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  加权复合算子在两类函数空间之间的序有界性

  林庆泽

  数学学报. 2022, 65(2): 317-324.

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  本文首先研究了加权复合算子$W_{\phi,\varphi}(f):=\phi f\circ\varphi$的Hilbert-Schmidt性质与序有界性的对应关系.接着利用加权Dirichlet空间$D_{\beta}^q(0<q<\infty,\,-1<\beta<\infty)$以及导数Hardy空间$S^p(0<p<\infty)$上的点值泛函$\delta_z$以及导数点值泛函$\delta'_z$的范数估计,给出了加权复合算子$W_{\phi,\varphi}$在加权Dirichlet空间$D_{\beta}^q$与导数Hardy空间$S^p$之间的序有界性的完整刻画.
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  围长至少为5的平面图的邻点可区别边染色

  张小秀, 黄丹君

  数学学报. 2022, 65(2): 325-334.

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  图$G$的邻点可区别边染色是指图$G$有一个正常的边染色,且满足任意两个相邻顶点的颜色集合不同.使图$G$有一个邻点可区别边染色的最小颜色数,被称为邻点可区别边色数,记作$\chi_{a}'(G)$.本文主要证明了:若图$G$是围长至少为$5$且不含孤立边的平面图,则有$\chi_a'(G)\leq$max$\{8,\Delta (G)+1\}$.
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  $\mathbb E_s^5$中的双调和超曲面

  富宇, 侯中华, 杨丹, 詹鑫

  数学学报. 2022, 65(2): 335-352.

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  本文研究五维伪欧氏空间$\mathbb{E}^5_s$中的双调和超曲面的几何和分类问题,证明了:如果$M^4_{r}$是$\mathbb{E}^5_s\(s=1,2,3,4)$中具有对角化形状算子的双调和超曲面,那么$M^4_{r}$一定是极小的.结合Turgay等人结果,本文进一步表明了五维Minkowski空间$\mathbb{E}^5_1$中Lorentz双调和超曲面一定是极小的.该结果证明了五维伪欧氏空间中超曲面情形下的双调和猜想.
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  有限域上两个奇质数乘积长度的$m$次剩余码

  刘渊博, 廖群英

  数学学报. 2022, 65(2): 353-370.

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  设$q$为质数幂,$m$为大于1的正整数,$p_{1},p_{2}$为不同的奇质数满足$\gcd (q$,$p_{1}p_{2})=1$且$m\,|\,\gcd (p_{1}-1,\,p_{2}-1)$.本文基于$m$次剩余的思想,给出码长为$p_{1}p_{2}$的$m$次剩余码的两种构造.对每种构造,分别给出其为$q$元码的等价刻画及其计数公式,得到了它们的LCD、自正交性质,最后讨论了$m$次剩余码的最小距离.特别地,当$q=m$为奇质数时,给出了$m$次剩余码最小距离的一个下界.
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  一类非线性复微分方程的超越亚纯解

  李铮, 陈俊凡

  数学学报. 2022, 65(2): 371-386.

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  本文主要研究非线性复微分方程$f^{4}+a (z) ff^{(k)}=p_{1}(z){\rm e}^{\alpha_{1}(z)}+p_{2}(z){\rm e}^{\alpha_{2}(z)}$的超越亚纯解,其中$a$,$p_{1}$,$p_{2}$是非零的有理函数,$\alpha_{1}$,$\alpha_{2}$是非常数的多项式.进一步地,考虑当亚纯解存在时,$\alpha_{1}$,$\alpha_{2}$,$p_{1}$和$p_{2}$所满足的条件.另外,还讨论了非线性复微分方程$f^{3}+a (z) f'=p_{1}(z){\rm e}^{\nu (z)}+p_{2}(z){\rm e}^{-\nu (z)}$的亚纯解的存在性,其中$a$,$p_{1}$,$p_{2}$是非零的有理函数,$\nu$是非常数的多项式.所得的结果直接推广了一些已知的结果.
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  赋值环上的Hermite环猜想

  刘金旺, 李冬梅, 吴弢

  数学学报. 2022, 65(2): 387-392.

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  本文主要研究赋值环上的Hermite环猜想.根据赋值环$V$上一元多项式环$V[x]$的性质,研究并得到$V[x]$上幺模行向量$(a_1(x),a_2(x),\ldots,a_n (x))$的一系列关于等价的性质,进而证明了赋值环上的Hermite环猜想成立,即对任意的赋值环$V$,$V[x]$都是Hermite环.
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  非Lipschitz条件下混合型随机微分方程解的矩估计

  孙晓霞, 倪宣明, 张俊玉

  数学学报. 2022, 65(2): 393-404.

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  本文的研究对象为非Lipschitz条件下混合分数布朗运动驱动的随机微分方程.混合分数布朗运动是布朗运动和分数布朗运动的线性组合.通过证明和混合分数布朗运动有关的伊藤公式,借助Malliavin积分理论,本文证明在非Lipschitz条件下,由混合分数布朗运动驱动的随机微分方程解的矩估计和连续性.