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本文研究一类新的双变量部分theta函数，它是经典部分theta函数的推广，主要围绕这类函数的乘积公式、递推关系、级数展开等性质展开讨论.作为主要结果，我们建立了任意两个双变量部分theta函数的乘积公式，推广了Andrews-Warnaar经典部分theta函数的乘积公式，发现了双变量部分theta函数所满足的二阶递推关系，得到了双变量部分theta函数θ（q，x；ab）关于{θ（q，axqn；b）|n ≥ 0}和{θ（q，xqn；b）|n ≥ 0}的级数展开式.作为这些结果的进一步应用，还给出了3φ2级数的新的乘积公式和双变量部分theta函数的三元表示.
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设Z，N分别是全体整数和正整数的集合，Mm（Z）表示Z上m阶方阵的集合.本文运用Fermat大定理的结果证明了：对于取定的次数n∈N，n ≥ 3，二阶矩阵方程Xn+Yn=λnI（λ ∈ Z，λ ≠ 0，X，Y ∈ M2（Z）且X有一个特征值为有理数）只有平凡解；利用本原素因子的结果得到二阶矩阵方程Xn+Yn=（±1）nI（n ∈ N，n ≥ 3，X，Y ∈ M2（Z））有非平凡解当且仅当n=4或gcd （n，6）=1且给出了全部非平凡解；通过构造整数矩阵的方法，证明了下面的矩阵方程有无穷多组非平凡解：∀n ∈ N，Xn+Yn=λnI（λ ∈ Z，λ ≠ 0，X，Y ∈ Mn（Z））；X3+Y3=λ3I（λ ∈ Z，λ ≠ 0，m ∈ N，m ≥ 2，X，Y ∈ Mm（Z））.
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对于图G=（V（G），E（G）），如果一个映射?：E（G）→{1，2，...，k}，使得G中任意相邻的两边e1，e2满足?（e1）≠ ?（e2），并且G中不含有双色圈，则称?为G的一个无圈边染色.对于给定的列表分配L={L（e）|e ∈ E（G）}，如果存在图G的一个无圈边染色?，使得对于任意边e ∈ E（G），均有?（e）∈ L（e），则称染色?为G的一个无圈L-边染色.如果对于任意的列表分配L，当对所有的边e ∈ E（G）满足|L（e）|≥ k时，图G均存在无圈L-边染色，那么称G是无圈k-边可选的.使图G无圈k-边可选的最小的正整数k，称为G的无圈列表边色数，用al'（G）表示.本文证明了对于最大度Δ ≤ 4的连通图G，如果|E（G）|≤ 2|V（G）|-1，则al'（G）≤ 6，扩展了Basavaraju和Chandran文[J.Graph Theory，2009，61（3）：192-209]的结果.
的二次数值半径不等式，应用非负实数的经典凸性不等式推广了A的二次数值半径不等式.