本文研究一类新的双变量部分theta函数,它是经典部分theta函数的推广,主要围绕这类函数的乘积公式、递推关系、级数展开等性质展开讨论.作为主要结果,我们建立了任意两个双变量部分theta函数的乘积公式,推广了Andrews-Warnaar经典部分theta函数的乘积公式,发现了双变量部分theta函数所满足的二阶递推关系,得到了双变量部分theta函数θ(q,x;ab)关于{θ(q,axqn;b)|n ≥ 0}和{θ(q,xqn;b)|n ≥ 0}的级数展开式.作为这些结果的进一步应用,还给出了3φ2级数的新的乘积公式和双变量部分theta函数的三元表示.
设Z,N分别是全体整数和正整数的集合,Mm(Z)表示Z上m阶方阵的集合.本文运用Fermat大定理的结果证明了:对于取定的次数n∈N,n ≥ 3,二阶矩阵方程Xn+Yn=λnI(λ ∈ Z,λ ≠ 0,X,Y ∈ M2(Z)且X有一个特征值为有理数)只有平凡解;利用本原素因子的结果得到二阶矩阵方程Xn+Yn=(±1)nI(n ∈ N,n ≥ 3,X,Y ∈ M2(Z))有非平凡解当且仅当n=4或gcd (n,6)=1且给出了全部非平凡解;通过构造整数矩阵的方法,证明了下面的矩阵方程有无穷多组非平凡解:∀n ∈ N,Xn+Yn=λnI(λ ∈ Z,λ ≠ 0,X,Y ∈ Mn(Z));X3+Y3=λ3I(λ ∈ Z,λ ≠ 0,m ∈ N,m ≥ 2,X,Y ∈ Mm(Z)).
对于图G=(V(G),E(G)),如果一个映射?:E(G)→{1,2,...,k},使得G中任意相邻的两边e1,e2满足?(e1)≠ ?(e2),并且G中不含有双色圈,则称?为G的一个无圈边染色.对于给定的列表分配L={L(e)|e ∈ E(G)},如果存在图G的一个无圈边染色?,使得对于任意边e ∈ E(G),均有?(e)∈ L(e),则称染色?为G的一个无圈L-边染色.如果对于任意的列表分配L,当对所有的边e ∈ E(G)满足|L(e)|≥ k时,图G均存在无圈L-边染色,那么称G是无圈k-边可选的.使图G无圈k-边可选的最小的正整数k,称为G的无圈列表边色数,用al'(G)表示.本文证明了对于最大度Δ ≤ 4的连通图G,如果|E(G)|≤ 2|V(G)|-1,则al'(G)≤ 6,扩展了Basavaraju和Chandran文[J.Graph Theory,2009,61(3):192-209]的结果.