代婷婷, 欧增奇, 吕颖
在本文中, 我们研究下述 $p$-Laplace 问题:$$\left\{\begin{array}{l}-\Delta_p u+V(x)|u|^{p-2}u=|u|^{{p^*}-2}u+a(x)|u|^{q-2}u,\quad x\in\mathbb{R}^N,\\u\in W^{1,p}(\mathbb{R}^N),\end{array}\right.$$其中 $N>p^2$, $1<p<q<p^*$ 且 $p^*=\frac{Np}{N-p}$ 是 Sobolev临界指数, $\Delta_p:=\text{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$ 是一个$p$-Laplace 算子, $V$ 是一个非负函数. 在 $V$和 $a$满足一定的条件下, 通过使用重心函数, 形变引理和Brouwer度理论,证明了上述问题至少存在两个不同的正解.
