田尘, 彭柳青
设$T_β$(其中$β>1$) 为定义在$[0,1]$上的$β$- 变换.本文研究了$β$动力系统中二维情形的精确渐近逼近集和精确一致逼近集的度量性质.作为推论,对任意$0 \leq \hat{v} \leq \infty$,我们可以得到一致逼近集$$\bigg\{(x,y)\in[0,1]^2:\forall N\gg1, \exists 1\leq n\leq N \text{使得}\!\!\begin{array}{c}T_{β}^nx ＜β^{-N \hat{v}}\\T_{β}^ny＜β^{-N \hat{v}}\end{array}\!\!\bigg\}$$的豪斯多夫维数.除此之外,我们还确定了乘积型精确逼近集$$\{(x,y)\in[0,1]^2:v_{L,β}(x,y)=v\}$$的豪斯多夫维数,其中$v_{L,β}(x,y)$表示使得$T_β^nx\cdot T_β^ny＜\frac{1}{β^{nv}}$对无穷多个$n \in \mathbb{N}$成立的$v$的上确界.
