有限域上多项式的零点计数问题是算术代数几何的核心问题之一,本文考虑有限域$\mathbb{F}$_q上完全对称多项式的零点问题.主要结果如下:设$h(x_1,\ldots,x_k)$是有限域$\mathbb{F}$_q上一个$m$次完全对称多项式($k\geq 3, \, 1\leq m\leq q-2$):
(1) 若$q$为奇数, 则$h(x_1,\ldots, x_k)$在$\mathbb{F}$_q^k中至少有$\frac{\lceil \frac{q-1}{m+1}\rceil}{q-\lceil \frac{q-1}{m+1}\rceil}(q-m-1)q^{k-2}$个零点;
(2) 若$q$为偶数, 且$k\geq 4$, 则$h(x_1,\ldots, x_k)$在$\mathbb{F}$_q^k中至少有$\frac{\lceil \frac{q-1}{m+1}\rceil}{q-\lceil \frac{q-1}{m+1}\rceil}(q-\frac{m+1}{2})(q-1)q^{k-3}$个零点.
注意到, 当$m$比较小的时候,上述新的下界改进了已有下界[4,定理1.4]和[3,定理1.2](见本文结论 1.1和1.2)大约$\frac{q^2}{6m}$倍.

孙智伟教授猜测: 对于每个奇素数 $p>100,$可要求勾股方程$x^2+y^2=z^2$的解$x,y,z\in[1,p]$,且分别为模$p$的二次剩余或者二次非剩余(共八种情形).对于所有充分大的素数$p,$ 本文证明了这一猜测,其方法主要涉及Lillian B.Pierce和Junyan Xu所证明的关于多元高次型的特征和的Burgess界.

本文具体地计算了有理数域上的四元数Shimura曲线上的Kodaira—Spencer映射以及它在Hodge丛的度量上的影响.前者用到的主要工具是模空间和形变理论,后者用到的主要工具是复阿贝尔簇的理论.

Faltings 提出了 Simpson 关于射影复流形上 Higgs丛与基本群有限维 $\mathbb{C}$-表示之间对应关系的 $p$ 进类比. 在本文中, 我们将概述这一工作以及相关的关于 $p$ 进曲线的基本群有限维 $p$ 进表示的研究. 在最后一节, 我们将简要地讨论一些相关工作.

本文证明了有正比例的正整数,它们表成斐波那契数与素数之和的表法数恰好为 $1$. 我们也研究了形如$p+a_k$ 的正整数, 其中 $p$ 为素数, $\{ a_k\}$是满足一定条件的指数型整数列.

本文将证明: 对于最大指数严格小于 $1/22$ 的表示,存在具有正则支的三线性 $\zeta$ 积分测试函数.

本文研究了一些行列式与积和式. 特别地, 我们探讨了新型行列式\normalsize $$\det [(i^2+cij+dj^2)^{p-2}]_{0 ≤ i,j ≤ p-1}{与}det [(i^2+cij+dj^2)^{p-2}]_{1 ≤ i,j ≤ p-1}$$模奇素数$p$, 其中$c$与$d$为整数.我们也提出一些猜想以供进一步的研究.

Demazure乘积是定义在一般Coxeter群上的一类幺半群乘积. 它自然地出现在李理论中的不同领域中. 本文将研究仿射Weyl群上Demazur乘积. 我们的主要结果是发现了它与有限Weyl群上的量子Bruhat图之间的一个紧密联系. 作为应用, 我们给出了仿射Weyl群最低双边胞腔元素之间Demazure乘积的显示表达式, 并得到了最低双边胞腔元素的一般牛顿点以及Lusztig-Vogan映射的具体刻画.

本文介绍实酉群表示限制问题的一些新进展.特别地,我们简单说明实酉群 Gan—Gross—Prasad猜想的证明思路.

本文通过一系列具体的实例展示对称幺半范畴中对偶和迹的重要作用,并介绍其在平展上同调中的新应用——万有局部零调性的刻画和相对Lefschetz—Verdier迹公式.

本文介绍 Vandiver 猜想与相关研究结果; 我们证明$A_2=A_4=\cdots=A_{32}=0,$ 这里$A$ 是$\mathbb Q(\zeta_p)$的理想类群的 $p$-Sylow子群; 我们提出一个关于非正则素数分布的猜想,给出数值验算.

Manin 猜想预测了代数簇上的有理点分布规律. 对给定的整系数本原正定二次型$Q$,方程$x^3=Q(\boldsymbol{y})z$ 表示一类奇异三次超曲面.本文主要介绍这类曲面上的Manin 猜想, 并概述其研究方法及相关结果. 在最后一节,介绍几个推广结果.

本文是一篇关于棱镜上同调理论发展的论文综述. 我们将从经典的$p$-进制Hodge理论开始, 简要地综述棱镜上同调理论的起源和基本结果. 我们将重点介绍棱镜晶体层的概念, 它们的上同调基本性质, 以及它们与经典的晶体上同调的关系.

本文是模$p$朗兰兹纲领的一篇概述,主要介绍GL₂情形下模$p$朗兰兹纲领的发展历程以及一些最新进展.

我们把Brauer—Manin障碍下的中心强逼近定义在任意奇异簇上.然后我们通过给出具体的爆破来证明由一个多项式等于一个迷向二元二次型定义的代数簇满足Brauer—Manin障碍下的中心强逼近.这就完成了Watson关于上述丢番图方程的结论的推广.

本文通过 $\mathrm{L}$-函数的整体积分幂矩, 来推导某些自守$\mathrm{L}$-函数集合的整体零点密度的上界估计. 具体而言, 假设 $I$是某些自守表示 $\pi$ 构成的集合, 对任意 $\pi$ 有非负系数 $c(\pi)$且级数 $\sum_{\pi\in I}c(\pi)$ 收敛. 假设\begin{equation*}\sum_{\pi\in I} c(\pi) \int_T^{T+T^\alpha} \bigg|\mathrm{L}\bigg(\frac12+{\rm i}t,\pi\bigg) \bigg|^{2\ell} dt\ll_\varepsilon T^{\theta+\varepsilon} \sum_{\pi\in I} c(\pi),\end{equation*}其中 $\ell\geq1$, $0<\alpha\leq1$, $\theta\geq\alpha$.则可以得到整体零点密度\begin{equation*}\sum_{\pi\in I}c(\pi)N_\pi(\sigma,T,T+T^\alpha)\end{equation*}的上界估计, 这里 $N_\pi(\sigma,T_1,T_2)$ 表示满足 $\sigma<\beta<1$及 $T_1\leq\gamma\leq T_2$ 的 $\mathrm{L}(s,\pi)$ 的零点$\rho=\beta+{\rm i}\gamma$ 的个数.