15 July 1958, Volume 8 Issue 3

    

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论文
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  VERTICES OF GENERALIZED REGULAR PLANE CURVES

  Acta Mathematica Sinica, Chinese Series. 1958, 8(3): 305-323. https://doi.org/10.12386/A1958sxxb0028

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  A point P of a plane arc(?)is called regular if the curvature of(?)iscontinuous at P.Otherwise,P is called non-regular.The arc(?)is calledregular if every point of(?)is regular.This definition may be generalizedin the following:Let(?)be a differential plane arc,there are only n non-regular points on(?),n being positive integer or zero.Let P be a regular point of(?),and P_0a non-regular point of(?),denote the length of(?)by l and (?)=S,(?)=S_0,0K(S)).Where δ be any sufficient small positive number.Then P is called a vertexof(?)and having the minimum(or maximum)of curvature.Let(?)be a sub-arc of(?)(C,D≠A,B),let the curvature of(?)beconstant and greater(or less)than the curvatures of P and Q,where P andQ are respectively regular points on(?)and(?)and near C and D.Then(?)is also called a vertex of AB.We have the following generalized theorems.1.Let(?)be an arc of generalized regular oval,O_1 and O_2 be the anglesformed by the chord AB and the tangents at A and B respectively and in- terior to the region bounded by the chord AB and the arc(?).Let P by anyregular point on(?),(?)=S,K(S)the curvature of P,(?)=L,Then wehave the following properties:(a)If(?)have no vertex and O_1>O_2.Then K(S)is decreasing in(O,l).(b)If O_1=O_2.Then AB has at least one vertex.(c)If(?)has no vertex and K(S)decreasing in(O,l).Then O_1>O_2.2.Every generalized regular oval has at least four vertices.3.Let A_1,A_2,…,A_(2n)be the vertices of a generalized regular oval(not acircle),where A_1,A_3,…,A_(2n-1)have the minimum of curvatures and A_2,A_4,…,A_(2n),the maximum of curvatures.Then the angles of the inscribed poly-gon A_1 A_2…A_(2n),have the following property:∠A_1+∠A_3+…+∠A_(2n-1)>∠A_2+∠A_4+…+∠A_(2n).4.The vertices of a generalized regular oval(not a circle)are not all ona circle.5.Every generalized regular simple closed curve has at least four vertices.6.If any circle cut a generalized regular oval at most four points.Thenthe oval has at most four vertices.7.If a generalized regular oval and a circle have 2n points in common.Then the oval has at least 2n vertices.8.The two vertex-curve C(generalized regular closed curve)has the fol-lowing propertices:(a)The curve C has nodal points and every nodal point is simple.(b)If the curve C touch itself at a point A.Then the directed tangentsat A coincide.(c)Let A,B(≠A)be two points of inflection of C and the arc(?)hasno point(≠A,B)in common with the tangents at A and B.Then the arcs(?)and(?)have no common point other than A and B.(d)Let A,B be two points of inflection of C and the tangents at A andB are parallel to each other but not coincide.Then the arcs(?)and(?)haveno common points other than A and B.
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  ON THE UPWARD STABILITY OF MAXIMAL CHARACTERISTIC EXPONENT AND LOWARD STABILITY OF MINIMAL CHARACTERISTIC EXPONENT

  Acta Mathematica Sinica, Chinese Series. 1958, 8(3): 324-332. https://doi.org/10.12386/A1958sxxb0029

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  In this paper we wish to discuss the upward stability of maximal char-acteristic exponent and loward stability of minimal characteristic exponent ofthe following systems(dx)/(dt)=A(t)x(1)and(dx)/(dt)=A(t)x+F(t,x),(2)whese F is real,continuous,and satisfies F(t,0)=0.The main results may be stated as follow:Theorem 1.Consider system(1)and(2),where(i)(?)(δ>0,t≥0)(ii)(?)Then,the maximal characteristic exponent of(1)is upward stable and theminimal characteristic exponent of(1)is loward stable provided that (i)(?)(3)(ii)(?)Theorem 2.If(i)λ_,λ_2,…,λ_n,characteristic exponents of(1),are distinct,(ii)(?)(4)(iii)(?),Then,the maximal characteristic exponent of(1)is upward stable and theminimal characteristic exponent of(1)is loward stable.Theorem 3.If(i)(?)(ii)(?)(iii)(?)(5)Then,the maximal characteristic exponent of(1)is upward stable andthe minimal characteristic exponent of(1)is loward stable.
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  О ЧИСПЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ТОЧЕК ЗМПИРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕНИЯ

  Acta Mathematica Sinica, Chinese Series. 1958, 8(3): 333-347. https://doi.org/10.12386/A1958sxxb0030

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  (?)(?)x_1,x_2,…,x_n(?)(?)F(x).(?)(?)(?)F_n(x)(?)(?)F_n(x_k,+0)>F(x_k)(?)F_n(x_k)
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  SUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES A LA SURFACE DU TORE(Ⅰ)

  Acta Mathematica Sinica, Chinese Series. 1958, 8(3): 348-368. https://doi.org/10.12386/A1958sxxb0031

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  Les études des structures topologiques des courbes définies par leséquationsdifférentielles à la surface du tore,commencées par H.Poincaréet succédéspar Bohl,Denjoy et Kneser,sont completes.Un problème fundamental,resté a résudre,est le culcul effectif du nombre μ,qui joue un r(?)le dominantdans la théorie.D'ailleus les études classiques ne considerent pas équationsconcrétes quelconques.Dans cet article nous étudirons ce probléme et nous proposons des problèmesnouveaux.Il y a trois sections dans cet article.Dans la première section nousétudions la croissance du nombre μ.Darts la seconde section nous étudions leproblème du“type du centre”.A la fin de cet article un certain nombre deséquations canoniques sont traitées.Ⅰ.La croissance du nombre μ.Darts cette section,nous considérons une famille des equations(?)(1);oǜλ est un paramètre,a<λ0,(iii)A(θ,ψ+2π;λ)=A(θ+2π,ψ;λ)=A(θ,ψ;λ),(iv)Si a<λ_2<λ_1
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  THE CONSTRUCTION FOR STEENROD'S D_i IN REDUCED POWERS OF COHOMOLOGY CLASSES

  Acta Mathematica Sinica, Chinese Series. 1958, 8(3): 369-383. https://doi.org/10.12386/A1958sxxb0032

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  Steenrod's cyclic reduced power operations St_(p)~i for a regular cell complexare defined by means of a set of homomorphisms D_i:C_q(K)→C_(q+i)(K~p)(K~p——p-fold product of K)~[2] with the following conditions:(?)where Σ=1+...+t~(p-1),Δ=t-1 and t:K~p→K~p is the transformationinduced by cyclic permutation of the factors of K~p.Then for any u∈∈H~q(K,L;G)St_(p)~iu∈H~(p+i),(K,L;G′_n)is defined as the class of D~((p-1)q-i)u~p,where D~i is the dual of D_i and u~p=uX...Xu and let the same letter u denotethe class and a representative simultaneously.As is well known St_(2)~i)whichcoincides with Sq~i can be defined by(?)_i products.The purpose of thispaper is to give a concrete definition of D_i which coincides with(?)_i,whenp=2.This problem was mentioned by W.S.Massey(cf.[14],problem 24).Suppose v_a be an arbitrary vertex of K,let(?)A system Ω of homomorphisms(?)will be called a systemof extension operators if the following conditions are satisfied:(e_1)For every vertex v_a,∈K and any integer i≥1,we have F_i~a∈Ω;forany given simplex σ∈K,the chain F_i~ac lies in(v_aσ)~p for any chain(?).(?)To construct the operators F_i~a.We define(?)and(?)for any vertex v_a,∈K and i≥1 by(?) (?)These operations λ_i~a and ξ_i~a possess the following properties:(?)Use the operationsλ_i~a,ξ_j~a we can construct a system of extension operatorsas follows.(?)Theorem I.Let(?)where(?)extension operators.Theorem Ⅱ.For any system of extension operators Ω={F_i~a} let us put(?)and define a system of homomorphisms D_i:C_q(K)→→C_(q+i)(K~p) by reduction formulas as follows(?)Then these homomorphisms D_i satisfy the conditions 1°, 2°and 3°.Moreover,for p=2,these homomorphisms D_i with F_i~a defined as in the Theorem I leadto the usual(?)products,namely,(?)where u,v are cochains of K and D~j the dual of D_j.Use the explicit reduction formulas of D_i given above we can computeSt__(p)~i directly in some special cases.
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  CHARACTERISTIC CLASSES ON LOCAL COEFFICIENTS

  Acta Mathematica Sinica, Chinese Series. 1958, 8(3): 384-395. https://doi.org/10.12386/A1958sxxb0033

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  A sphere bundle(?)where K is a finite polyhedron andthe structural group O_m is an othogonal group,has a system of invarianceclasses,which was discovered by Stiefel and Whitney in 1935.These classeshave been called Stiefel-Whitney classes.Let(?)be the associated bundle of B with Stiefel manifold Y~q=V_(m,m-q)==O_m/O_q as fibre.The(q+1)th Stiefel-Whitney class of(?)(q=1,…,m)will be denoted by W~(q+1)B,which is a class of(?)being the bundle of coefficients with fibre π_q(V_(m,m-q)) and base space K.Weknow that(?)if q is even, or q=m-1,(?)if q is odd,and q
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  CONCERNING THE PROPERTIES OF BOUNDED REGULAR FUNCTION IN THE NEARLY BOUNDARY

  Acta Mathematica Sinica, Chinese Series. 1958, 8(3): 396-407. https://doi.org/10.12386/A1958sxxb0034

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  In this paper,we have proved a theorem which extend the Tauberian lemmaconsidered by Rogosinsky et Eggleston and we have obtained several corolla-ries:Theorem 1.Let f(z)be a bounded regular function with finite number ofzeros in domain D, and z_o be a point on the frontier of D.z_o may be the pointat infinity,but in any case the frontier of D must contain at least one finitepoint.Let S(?)D be a set of points,z_o is one of its limit points,for z∈D,letd(z)be the distance of z from the frontier of D.(?)Corollary 1.With the same hypotheses as in Theorem 1,let G_x be a subsetof D which consists of(i)all the points z_1 of S;(ii)all the points z of D whichsatisfy(?)for some z_1 of S,where x is a fixed number,0
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  SOME INEQUALITIES IN THE THEORY OF SUBORDINATION

  Acta Mathematica Sinica, Chinese Series. 1958, 8(3): 408-412. https://doi.org/10.12386/A1958sxxb0035

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  Let(?)conformally represents |z|<1 on a Riemann surface S_F.We say that f(z)subordinate to F(z) if a_o=b_o,and f(z)takes only values inside S_F.Weexpress this relation by f(z)(?)F(z).If S_f is a schlicht part of S_F,then f(z)is said to be schlicht subordinate to F(z).If t(z)(?)F(z),Rogosinski~([1,2]) established the inequlity(?)for n=1 and 2.In this paper,T.S.Shah proves that(?)and that the constant 2~(1/2) is the best possible (Theorem 1).K.M.Changpoints out that the (1) holds good for n=3,if f(z) is schlicht subordinateto F(z) (Theorem 2).Finally,K.M.Chang proves that if f(z)(?)F(z),f(0)=F(O)=0,and ifF(z) is schlicht in |z|1,then the map S_f covers the circle(?)but not any larger circle(Theorem 3).
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  ON SIEVE METHODS AND SOME OF THEIR APPLICATIONS(Ⅰ)

  Acta Mathematica Sinica, Chinese Series. 1958, 8(3): 413-429. https://doi.org/10.12386/A1958sxxb0036

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  In this paper,we give the details of the proofs of the following threetheorems (Cf.Science Record,Academia Sinica,I:1(1957),9—12;I:3(1957),1—5).Theorem 1.Every sufficiently large even integer can be written as a sumof two positive number>1,of which one contains at most 2 and other atmost 3 prime factors.Theorem 2.For any given even number k,there are infinitely manyintegers n,such that each of n and n+k has at most 3 prime factors andn(n+k)is a product of not more than 5 primes.Theorem 3.Every sufficiently large odd integer can be represented as2N+1=2P+Q(P>1,Q>1),where the number of prime factors of Pand also of Q is not more than 3 and PQ is a product of at most 5 primes.
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  UNE INEGALITE FONDAMENTALE DANS LA THEORIE DES FONCTIONS MEROMORPHES ET SES APPLICATIONS(Ⅰ)

  Acta Mathematica Sinica, Chinese Series. 1958, 8(3): 430-443. https://doi.org/10.12386/A1958sxxb0037

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  Dans le present mémoire en chinois se trouvent développés et améliorésun théoréme(th.I)et certaines de ses conséquences que nous avons annoncésdarts une Note antérieure [4,a].Ⅱcontient aussi quelques résultats nouveauxque nous résumons dans ce qui suit:Partant de l'identité(?)avec(?)et àl'aide de la formule de Jensen,nous trouvons une inégalité de la forme(?)ce qui permet d'établir lesoient a_μ(μ=1,…,p)p hombres complexes finis(différents de zéro ou non)et distincts entre eux,et b_v(v=1,…,q) q nombrea complexes finis différentsde zéro et distincts entre eux.En Supposant que(?) (?)S_k(r, f) jouissant des propriétés du reste babituelle.Corollaire.Soit f(x) une fonction méromorphe darts tout le plan;on conser-ve les autres conditions et les notations du théorème Ⅱ.Si de plus on supposeque la conditionsoit vérifiée,en excluant au besoin une suite d'intervaUes de longueur totalefinie {I},alors on a l'inégalité(?)sauf peut-être pour une suite d'intervalles de même nature que {I}.On aura une proposition analogue pour le cas d'une fonction méromorphedans le cercle unitéPour donner un exemple des foncti0ns auxquelles s'applique le corollaireprecedent,on peut prendre(?)et k=2.Ⅱ.est facile de trouver que(?)et que(?)On volt que toutes les conditions qu'exige le corollaire sont vérifiées.Puis,du théorème I,nous donnons l'extension suivanteThéorème Ⅲ.Soient f(x) une fonction méromorphe pour |x|
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  UNE INEGALITE FONDAMENTALE DANS LA THEORIE DES FONCTIONS MEROMORPHES ET SES APPLICATIONS(Ⅱ)

  Acta Mathematica Sinica, Chinese Series. 1958, 8(3): 444-455. https://doi.org/10.12386/A1958sxxb0038

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  Applications aux problémes d'unieité.Les inégalités établies dans la pre-miere partie du present mémoire nous permettont de donner quelques théorèmesd'unicité,que l'on ne peut pas obtenir au moyen de celle de M.Milloux.Soit f(x)une fonction méromorphe dans tout le plan.Nous désignonspar(?)(a)l'ensemble des points en lesquels f prend la valeur a et par (?)~(k)(b),celui des points en lesquels f~(k)prend la valeur b,chaque point multiple étantcomptéune seule fois.Nous avons d'abord les théorémes suivants qui ontété annoncés darts la Note cirée et qui se trouvent ici avec une rectification etun peu d'amélioration.Théoréme Ⅳ.Soit f(x)une fonction méromorphe qui admet zéro et l'infinicomme valeurs exceptionneUes de défaut 1.En désignant par a_μ,(μ=1,…,4)et b_v(v=1,…,4)deux groupes de valeurs finies différentes de zéro et dis-tinctes entre eUes dans le même groupe,la fonction fest univoquement déter-minée par cinq ensembles de points pris d'une facon quelconque parmi les(?)Théorème V.On conserve la première partie de l'énnoncédu théorèmeprécédent;si b_v(v=1,2,3)sont trois valeurs finies différentes de zéro etdistinctes entre elles,la fonction est déterminée,àun polynome de degrék—1additif prés,par les trois ensembles de points(?)~(k)(b_v)(v=1,2,3).Nous trouvons ensuite les théorèmes suivants: Théorème Ⅵ.Etant donnée une fonction f(x)sous les mêmes hypothèsesque darts le théorème IV,on considére l+1 fonetions méromorphes a_i(x)(i=O,1,…,l)telles que(?)et on pose(?)avee f~((0))=f.Alors,en désignant par a_μ et b_v deuxgroupes de hombres comme darts le théorème IV et en changeant la notation(?)(a)en(?)(a,g)pour une fonction g,la fonction fest univoquement deter-minée par cinq ensembles pris d'une facon arbitraire parmi les(?)(a_μ,f)et les(?)Théorème Ⅶ.Soit f(x) une fonction méromorphe;on suppose qu'elle ad-metre l'infini comme valeur exceptionnelle de défaut 1 et qu'en excluant aubesoin une suite d'intervalles de longueur totale finie la condition(?)soit vérifiée.Alors la fonction f est univoquement déterminée par sept ensem-bles pris d'une facon quelconque parmi(?)(a_μ)et(?)érant des valeurs finies (différentes de zéro ou non.)et distinctes entre elleset b_v,des valeurs finies non nulles et distinctes entre elles.Théorème Ⅷ.On conserve la premère partie de l'énoncéde Ⅶ;sib_v(v=1,…,4)sont quatre valeurs finies différentes de zéro et distinetes entreelles,la fonction f est déterminée,un polynome de degré k—1 additif près,par les quatre ensembles (?)(b_v)(v=1,…, 4).Enfin l'introduction de la fonction f_i considérée dans le théorème Ⅵ pour-ront encore donner des théorèmes analogues àV,Ⅶ et Ⅷ.Applications àl'étude des défauts.Soit f(x)une fonction mé(?)omorphe.En généralisant une notion introduite par M.Milloux,nous appelons défautrelatif d'une valeur a pour f~((k))l'expression(?)et nous le désignons par δ_r~((k))(a,f)ou par δ_r(a).Par comparaison le défautordinaire de a pour f~((k)) sera dit défaut absolu de a pour f~((k)) et sera désignépar δ_a~(k)(a,f)ou par δ_r~((k))(a).Par définition on volt que δ_r~((k))(a,f)≤1 et pour la classe importante desfonctions dépourvues d'intervalles extraordinaires,nous montrons que l'on air(?)ce qui permet de conclure que tout défaut relatif pour f~((k)) a—k pour borneinférieure.Dans le cas oùk=1,on retrouve ainsi le résultat de M.Milloux.Et en nous bornant au cas des fonctions de cette classe,nous démontronsimmédiatement les propositions générales:Soit f(x) une fonction méromorphe dépourvue d'intervalles extraordinaireset ne se réduisant pas àune constante;si eUe admet l'infini et une autre va-leur a comme valeurs exceptionnelles de défaut 1,le défaut relatif d'une valeura pour f~((k)) est égal àson défaut absolu pour f(k).fest définie comme précédemment;si elle admet l'infini comme valeur de défaut 1 et si,la condition(1)est vérifiée, alors le défaut relatif d'une valeura pour f~((k)) est égal àson défaut absolu pour f~((k)).La première de ces