Gabor分析中几个著名的基本定理（如对偶原理和稠密性定理）与群表示和算子代数理论密切相连.尽管时频分析与算子代数之间的某些联系是Jon von Neumann于1930年代建立的，可是它们在近期得到广泛研究，这主要应归于小波/Gabor理论或更一般的框架理论近二十年的发展.本文将讨论过去几年得到的一些主要结果，同时也给出一些新的结果、解释和问题.我们主要考虑来源于时频分析并能反映与群表示理论存在内在联系的那些结果.特别地，针对群表示的时频分析，将详细说明抽象的对偶原理及其与算子代数理论中几个公开问题的联系.

设H是复Hilbert空间，B（H）是H上的有界线性算子全体组成的代数，M⊆B（H）是von Neumann代数，“≤”表示M中的*-偏序，即A，B∈M，若A^*A=A^*B，AA^*=BA^*，则AB.本文研究了von Neumann代数中*-偏序的上确界和下确界，证明了von Neumann代数M的子集关于*-偏序的上、下确界和B（H）中的上、下确界一致.同时，给出了M的*-偏序遗传子空间的表示，证明了弱^*闭子空间A⊆M，满足A∈M，B∈A，由AB可得A∈A，当且仅当存在唯一具有相同中心投影的投影对E，F∈M，使得A=EMF.

设U=Tri（A，M，B）是三角代数.证明了在一般的假设下，如果线性映射δ：U→U，满足对任意的U，V，W∈U且UV=UW=0（或UV=UW=0），有δ（[[U，V]，W]）=[[δ（U），V]，W]+[[U，δ（V）]，W]+[[U，V]，δ（W）]，则对任意U∈U，δ（U）=φ（U）+h（U），其中φ：U→U是一个导子，线性映射h：U→Z（U），满足对任意的U，V，W∈U且UV=UW=0（或UV=UW=0），有h（[[U，V]，W]）=0.

令H是维数大于2的复Hilbert空间，A是H上自伴标准算子代数.对于给定的正整数k≥1，H上算子A与B的k-斜交换子递推地定义为_*[A，B]_k=_*[A，_*[A，B]_k-1]，其中_*[A，B]₀=B，_*[A，B]₁=AB-BA^*.设k≥4，φ是A上的值域包含所有一秩投影的映射.本文证明了φ满足_*[φ（A），φ（B）]_k=_*[A，B]_k对任意A，B∈A都成立的充分必要条件是φ（A）=A对任意A∈A都成立，或φ（A）=-A对任意A∈A都成立.当k是偶数时后一情形不出现.

本文证明了：如果两个W^*-三元算子环V和W的cb距离d_cb（V，W）很小的时候，其连接冯·诺依曼代数之间的距离也很小.还证明了：和内射的W^*-三元算子环靠的很近的W^*-三元算子环也是内射的.对具有Γ性质和McDuff性质的W^*-三元算子环，类似的结论也成立.

证明了由自由群整数环上一类元素确定的代数作用的遍历性，计算了Heisenberg群因子中特定元素的Fuglede-Kadison行列式值.

介绍Hardy-Sobolev空间和Fock空间及其算子与算子代数研究方面所做的工作，包括对这两类空间上几类特殊算子有界性、紧性、Fredholm性、指标理论、谱和本性谱、范数和本性范数、Schatten-p类的讨论，以及由它们所生成的C^*-代数的研究.

这是最近子因子和局部紧量子群上的非交换傅立叶交换的一系列工作的综述.简要地介绍子因子和局部紧量子群的定义及其性质，给出了Hausdorff-Young不等式，Young不等式，不确定原理，合集估计以及它们的等号成立条件.

讨论复平面上解析Banach空间具有任意指标的拟不变子空间的存在性问题.首先给出一类复平面上解析Banach空间存在任意指标拟不变子空间的判定定理.作为应用，证明了Fock型空间F^p（C）={f∈Hol（C）：（1）/（π）∫_C|f（z）|^pe^-|z|2dA（z）< +∞，1≤p< +∞}与Hilbert空间H={f∈Hol（C）：f∈Hol（C）：（1）/（π）∫_C|f（z）|²e^-|z|dA（z）<+∞}具有任意指标的拟不变子空间.

给出C^*-代数α-比较性的等价刻画：对于单的含单位元的稳定有限的C^*-代数A而言，A具有α-比较性，当且仅当对于任意的<a>，<b>∈W（A），若α·d_τ（a）<d_τ（b）（∀τ∈QT（A）），则<a>≤<b>在Cuntz半群W（A）中成立.利用此刻画，证明了具有α-比较性的C^*-代数一定具有弱比较性；若A具有α-比较性，其中α=m+1，则A具有正元的强迹m-比较性；对于满足Kirchberg-Rørdam条件的C^*-代数，Z-稳定、严格比较、α-比较性（α=m+1）、强迹m-比较性、弱比较性以及局部弱比较性彼此等价；若α：=inf{α'∈（1，∞）|A具有α'-比较}<∞，则A具有α-比较性.

介绍了p-算子空间上的p-完全有界框架概念.证明了可分p-算子空间X上存在p-完全有界框架当且仅当X满足p-完全有界逼近性质当且仅当X能够p-完全可补嵌入有p-完全有界基的p-算子空间.对于满足p-完全有界逼近性质的非可分的p-算子空间，还证明了其任意可分子空间均可以p-完全同构嵌入到有p-完全有界框架的p-算子空间.

介绍了Rieffel定义的紧致量子度量空间与量子Gromov-Hausdorff距离和近来Latrémolière定义的量子Gromov-Hausdorff邻距，分别讨论了矩阵代数如何在这两种量子距离下收敛至球面.

Ian Putnam利用Smale空间上的渐近等价关系定义了广群C^*-代数及其典则自同构.本文在零维Smale空间的情形下，计算此类C^*-自同构的逼近熵，证明了相应C^*-动力系统关于CNT熵和逼近熵的“变分原理”成立.由此推演出此类Smale空间上的Bowen测度诱导的C^*-代数上的态是此典则自同构的唯一平衡态.

Murray和von Neumann在对W^*-代数进行分类工作时，主要的工具是刻画W^*-代数中的投影的性质（事实上，W^*-代数是由投影所生成的）.因为一般的C^*-代数可能不包含任何非零的投影，所以不能将Murray和von Neumann的方法，直接地应用到C^*-代数上来得出分类理论.本文作者在最近的两项工作中，分别使用C^*-代数的开投影和正元来代替投影，得到两套平行的Murray-von Neumann式的分类理论.本文在简单描述了这两套分类理论之后，将会给出一个一般的分类架构，它可以用来得出好些C^*-代数的分类理论（包括我们之前的两套理论），我们也会通过它来讨论各种分类理论之间的等价性，并给出之前两套理论的细化.

设R是一个环，M是一个R-双边模，m和n是两个非负整数满足m+n≠0，如果δ是一个从R到M的可加映射满足对任意A∈R，（m+n）δ（A²）=2mAδ（A）+2nδ（A）A，则称δ是一个（m，n）-Jordan导子.本文证明了，如果R是一个单位环，M是一个单位R-双边模含有一个由R中幂等元代数生成的左（右）分离集，那么，当m，n>0且m≠n时，每一个从R到M的（m，n）-Jordan导子恒等于零.还证明了，如果A和B是两个单位环，M是一个忠实的单位（A，B）-双边模（N是一个忠实的单位（B，A）-双边模），m，n>0且m≠n，U=[_N^A_B^M]是一个|mn（m-n）（m+n）|-无挠的广义矩阵环，那么每一个从U到自身的（m，n）-Jordan导子恒等于零.

研究限制pre-李代数的结构，给出了限制pre-李代数和可限制pre-李代数的定义，得到了限制pre-李代数的p-映射性质和可限制pre-李代数的性质，还讨论了带有半单元的限制pre-李代数及拟环面限制pre-李代数和分解唯一性定理.

考虑带有Hardy和Sobolev-Hardy临界指标项的非齐次椭圆方程-Δu-μ（u）/（|x|²）=λu+（|u|^2*（s）-2）/（|x|^s）u+f，在Ω中，
u=0，在∂Ω上，
这里2^*（s）=（2（N-S））/（N-2）是临界Sobolev-Hardy指标，N≥3，0≤s<2，0≤μ<ū=（（N-2）²）/（4），Ω⊂R^N是一个开区域.假设0≤λ<λ₁时，λ1是正算子-Δ-（μ）/（|x|²）的第一特征值.f∈H₀¹（Ω）^*，f（x）0.当f满足适当的条件时，此方程在H₀¹（Ω）中至少具有两个解u₀和u₁.而且，当f≥0时，有u₀≥0和u₁≥0.

设X和Y是维数大于1的复Banach空间，A和B分别是B（X）和B（Y）中包含有限秩算子的范数闭子代数.∀A，B∈A，定义AB=A+B-AB，称为A，B的拟积.刻画了从A到B的双边保持算子的（左，右）拟可逆性或（左，右，半）拟零因子的可加满射的结构.

设x：M→Sⁿ⁺¹（n≥5）是（n+1）-维单位球面上不含脐点的超曲面，在Sⁿ⁺¹的Moebius变换群下浸入x的四个基本不变量是：Moebius度量g；Moebius第二基本形式B；Moebius形式Φ和Blaschke张量A.本文给出Sⁿ⁺¹上具有重数1，1，1，m（m≥2）的四个不同Moebius主曲率的Moebius等参超曲面的分类.

利用一个推广的Grunsky不等式，借助于单叶函数的拟共形延拓的边界伸缩商，我们给出Grunsky算子的本性模的一些估计.作为推论，我们推出Grunsky算子的紧性准则.

根据值域的稠密性和闭性，可将有界线性算子的点谱和剩余谱进一步细分为1，2-类点谱和1，2-类剩余谱.针对3×3阶上三角算子矩阵，采用分析方法和空间分解方法分别刻画了可能1，2-类点谱和可能1，2-类剩余谱.

确定了超特殊Z-群的自同构群.设G是超特殊Z-群，即G=|α_j∈Z，j=1，2，...，2n+1，
Aut_cG是AutG中平凡作用在ζG上的自同构形成的正规子群，则AutG=Aut_cGZ₂，且1→Aut_cG→Sp（2n，Z）→1是正合列.

设W是左R-模的自正交类.引入研究了相对于W的n-强W-Gorenstein模，这类模推广了强W-Gorenstein模、强Gorenstein投射模和n-强Gorenstein投射模.特别地，研究了自正交模类W_P和W_I的n-强W-Gorenstein模的性质.还研究了W-Gorenstein范畴的稳定性，得到了B_C（R）中W_P-Gorenstein模的具体刻画，建立了关于n-强W_P-Gorenstein（n-强W_I-Gorenstein）模的Foxby等价.此外，对n-强W_F-Gorenstein模的性质也有所研究.

考虑二元独立非同分布高斯随机向量三角阵列最大值分布的渐近性及相关统计推断.此高斯三角阵的第n列的第i个向量服从二元高斯分布，其相关系数为i/n的函数并单调连续.首先建立了此高斯三角阵最大值分布的一阶和二阶渐近展开式.其次，分析相关系数参数估计及估计量的渐近性质.最后，通过随机模拟说明了相关系数之参数估计的有效性，并将该二元非同分布三角阵列模型应用于实际数据，得到了满意的结果.

纵向数据常常用正态混合效应模型进行分析.然而，违背正态性的假定往往会导致无效的推断.与传统的均值回归相比较，分位回归可以给出响应变量条件分布的完整刻画，对于非正态误差分布也可以给稳健的估计结果．本文主要考虑右删失响应下纵向混合效应模型的分位回归估计和变量选择问题．首先，逆删失概率加权方法被用来得到模型的参数估计．其次，结合逆删失概率加权和LASSO惩罚变量选择方法考虑了模型的变量选择问题.蒙特卡洛模拟显示所提方法要比直接删除删失数据的估计方法更具优势．最后，分析了一组艾滋病数据集来展示所提方法的实际应用效果．

研究了经典N=2李共形超代数的导子和第二上同调群的结构，并应用第二上同调群的结果确定了该李共形超代数的泛中心扩张.

主要研究Degasperis-Procesi（DP）方程强解的渐近性质，即通过对其强解的动量密度用渐近密度的方法，并在渐近密度唯一的假定下，证实了DP方程的正动量密度的渐进密度是支集在正轴上的Dirac测度的组合，且当时间趋于无穷时，动量密度集中在不同速度向右移动的小区域中.

研究了一维Cauchy分布的加权Poincaré不等式和加权log-Sobolev不等式.我们给出并证明了所给权函数的最优性，同时对不等式中的常数进行了阶的估计.

设μ_M，D是由仿射迭代函数系{φ_d（x）=M^-1（x+d）}d∈D唯一确定的自仿测度，它的谱性或非谱性与Hilbert空间L²（μ_M，D）中正交指数基（也称为Fourier基）的存在性有着直接的关系.近年来自仿测度μ_M，D的谱性或非谱性问题的研究受到人们普遍的关注.本文给出了判定自仿测度μ_M，D非谱性的几个充分条件，所得结果改进推广Dutkay，Jorgensen等人的非谱准则.

本文利用Littlewood-Paley分解，Fourier变换和逆变换等方法，研究了双线性Fourier乘子在非齐次正光滑性Triebel-Lizorkin 空间和 Besov 空间的有界性.

首先利用James常数J（X）给出了Jordan-von Neumann 型常数C_-∞（X）的一个估计式，然后由此式说明确实存在C_-∞（X）<C_Z（X）的例子，最后利用C_-∞（X）和 Benavides 常数R（a，X）的关系，得到了空间具有正规结构的充分条件，并通过一些例子说明我们的结论严格推广了一些文献中的结果.

我们研究了由仅有实零点的代数多项式导出的微分算子确定的广义Sobolev类利用指数型整函数作为逼近工具的最佳限制逼近问题.利用Fourier变换和周期化等方法，得到在L₂（R）范数下的广义Sobolev光滑函数类的相对平均宽度和最佳限制逼近的精确常数，以及当0是这个代数多项式的一个至多2重的零点时，得到最佳限制逼近在L₁（R）范数和一致范数下的广义Sobolev类的精确到阶的结果.

Mauduit 与 Sárközy 在一系列论文中研究了k元序列的伪随机性. 本文通过对模 pq 剩余类环 Zpq进行分割，进而结合离散对数的方法，构造了一大族长度为 pq 的伪随机k元序列，并证明其具有很好的伪随机性.

在新的初始条件下，利用锥理论和半序方法，研究了Banach空间中二元算子方程A（x，y）=L_x的迭代求解问题.在对算子A和L的连续性和紧性不做任何假定的情况下，证明了其解的存在性和唯一性.还证明了本文所构建的迭代序列收敛于该解，估计了其收敛速度.最后将所获结果用于讨论一类微分-积分方程解的存在性问题.

研究了一类具有有限谱的带有谱参数边界条件的四阶微分方程边值问题及其矩阵表示，证明了对任意正整数m，所考虑的问题至多有2m+6个特征值，进一步给出这类带有谱参数边条件的四阶边值问题与一类矩阵特征值问题之间在具有相同特征值的意义下是等价的.

全子半群定义为含有所有幂等元的子半群.半群称为▽_fs-半群，如果它的所有全子半群关于集合包含关系构成一个链.本文研究富足▽_fs-半群，得到这类半群的若干特征，特别地，建立了完全0-单▽_fs-半群和满足正则性条件的本原富足▽_fs-半群的结构.

我们研究了左截断右删失数据分位差，基于左截断右删失数据乘积限构造了分位差的经验估计，同时克服经验估计的非光滑性，提出了分位数差的核光滑估计. 利用经验过程理论推导出这两个估计的渐近偏差和渐近方差，并且在左截断右删失数据下研究了这两个分位差的大样本性质，获得分位差估计的相合性和渐近正态性. 同时给出计算模拟以验证光滑分位差估计的表现，在均方损失的意义下模拟结果表明光滑估计比经验估计具有更好的性质.

完整地确定了Frattini子群是无限循环群的有限生成幂零群的结构，证明了下面的定理. 设G是有限生成幂零群，则G的Frattini子群是无限循环群当且仅当G可以分解为G=S×F×T，其中F是秩为s的自由Abel群，T=Z_m1⊕Z_m2⊕…⊕Z_mu，m₁，m₂，…，m_u都是大于1的没有平方因子的自然数，
式中d₁，d₂，…，d_r都是正整数，d₁|d₂|…|d_r. 进一步，（d₁，d₂，…，d_r；s；m₁，m₂，…，m_u）是群G的同构不变量，即若群H也是Frattini子群是无限循环群的有限生成幂零群，那么G同构于H的充要条件是它们有相同的不变量.

假设一个连通上链DG代数A的基分次代数A^#或者同调分次代数H（A）是由一次元素x，y生成的代数k<x，y>/（xy+yx）. 本文证明A是Koszul Calabi-Yau DG代数.

有限群G称作PNN-群，如果G的每一个极小子群X要么正规于G，要么是自正规化的.本文将讨论PNN-群的性质，并给出极小非PNN-群，也就是本身不是PNN-群，每个真子群都是PNN-群的有限群的完全分类.